Seien K,K' zwei Körper mit entsprechenden Verknüpfungen und φ: K→K' ein Körperhomomorphismus.
Zeigen Sie:
Wenn φ nicht injektiv ist, dann ist φ der Nullhomomorphismus, d.h. φ(x)=0 für jedes Element x∈K.
ich schreib mal f statt phi
f nicht injektiv heißt, es gibt a,b aus K a ungleich b unf f(a) = f(b)
also f(a) - f(b) = 0 ( in K ' )
also f(a - b ) = 0 wegen Hom.
aber da a ungleich b ist, gibt es also ein Element y ungleich Null
( das y ist nämlich gerade a-b ) dessen Bild = 0 ist.
Da y nicht Null ist, besitzt es in K ein Inverses bzgl. der Multiplik. ich nenn das mal Y
Sei nun x aus K, dann gilt x = x * 1 = x * ( y * Y )
also f(x) = wegen Hom !
= f (x) * f ( y * Y ) = wieder Hom
= f(x) * ( f(y) * f(Y) )
= f(x) * ( 0 * f(Y) )
= f(x) * 0
= 0
