Sei Pol_{n} der R-Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ n. Geben Sie eine Basis für den Kern und das Bild von G an.

Question

Sei Pol \( _{n} \) der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich \( n \) mit reellen Koeffizienten und der Unbekannten \( t . \) Für \( f \in \) Pol \( _{n} \) definieren wir eine Abbildung

\( G(f):=\frac{d}{d t}(t f)-2 f \)

wobei \( \frac{d}{d t} g \) die Ableitung der Funktion \( g \) nach der Variablen \( t \) bezeichnet. Zeigen Sie, dass dies eine lineare Abbildung von Pol \( _{n} \) nach Pol \( _{n} \) definiert.

Geben Sie eine Basis für den Kern und das Bild von \( G \) an.

Answer 1

So ein Polynom sieht ja so aus
f = a_ntⁿ + a_n-1*t^n-1 + .....   + a₁t + a_o

also G(f) = (d/dt)(a_ntⁿ⁺¹ + a_n-1*tⁿ + .....   + a₁t² + a_ot)  - 2f
          =         (n+1)*a_ntⁿ + n*a_n-1*t^n-1 + ..... +3a₂t² + 2a₁t + a_o    - 2 (a_ntⁿ + a_n-1*t^n-1 + .....   + a₁t + a_o )
          =  (n-1)a_ntⁿ + (n-2)a_n-1*t^n-1 + .....+a₂t²   -   a_o
Ist linear, denn wenn man f (wie oben ) und   g (ähnlich wie oben aber mit b_k statt a_k) hat,
dann ist G(f+g) = (n-1)(a_n+b_n)tⁿ + (n-2)(a_n-1+b_n-1)*t^n-1 + .....+(a₂+b₂)t²   -   (a_o+b_o) =
                 [Klammern mit ak + bk) auflösen und neu sortieren]
                                       = (n-1)a_ntⁿ + (n-2)a_n-1*t^n-1 + .....+a₂t²   -   a_o   + (entspr. mit b)
                                   = G(f)  +  G(g)
kann mam auch kürzer haben:

G(f+g) =  (d/dt)( t*(f+g)) -2(f+g) =  (d/dt)( t*f+t*g)) -2f-2g
Abl einer Summe ist Summe der Ableitungen, also  
                               = (d/dt)( t*f) +   (d/dt)t*g))   -2f    -2g
                               = G(f)   +   G(g)
G ( k*f) = k * G(f) ähnlich

Kern:   G(f) = 0 gilt wenn alle a_k = 0 werden, außer a₁, denn das kommt in G(f) nicht vor.
Also ist Kern(G) = Menge aller polynome vom Grad 1, also Basis ist das Polynom p = t
und das Bild von G sind alle Polynome, die sich in der Form
(n-1)a_ntⁿ + (n-2)a_n-1*t^n-1 + .....+a₂t²   -   a_o    schreiben lassen, also Basis
           t^n ,   t^n-1   ,   .....   , t^2 ,   1