Da a und xo beide nicht negativ, ist auch
der Quotient a/x0 nicht negativ,
damit auch die Summe xo + a/xo
und auch das 1/2 - fache davon nicht negativ.
So könnte man das per Induktion für alle xn beweisen:
Sie sind alle nicht negativ, die Folge also durch 0 nach unten beschränkt.
Gab es vielleicht noch eine Vor. über das a, etwa a < x0^2
sonst scheint mir das mit dem monoton fallend was schwierig
und würd auch nicht stimmen:
Für x0=2 und a=5 etwa wäre x1 = o,5 ( 2 + 2,5 ) = 2,25 also größer als xo
im Widerspruch zu monoton fallend.
Falls allerdings a < x0^2 , dann kannst du auch mit Induktion beweisen, dass
die Folge monoton fällt.
Für den Grenzwert betrachtest du die Rekursionsgleichung für x gegen Unendlich,
dann haben xn und xn+1 den gleichen GW g, also gilt
g = 0,5 ( g + a/g ) also 2g = g + a/g alos g = a/g also g = √(a)
