Ein Schäfer benötigt für seine Schafherde einen rechteckigen Pferch mit einem Flächeninhalt von 500m^2.

Question

Wie soll er die Maße des Rechtecks wählen, damit für eine Umzäumung möglichst wenig Material benötigt wird, wenn eine Rechteckseite von einem Bach gebildet wird?

Answer 1

A = a*b = 500

b = 500/a

U= 2a+2b = 2a + 1000/a

U ' = 0

2 -1000/a^2 =0

2a^2 = 1000

a^2 = 500

a = √500

b = 500/√500 = √500

Es ist also ein Quadrat mit der Seitenlänge a = √500 Meter. (22,36 Meter)

Comments

Sorry, den Bach habe ich leider nicht berücksichtigt.

Answer 2

Dann brauchst du ja nur 3 Zäune, einen parallel zum Bach und die anderen senkrecht
auf den Bach zulaufend.
der parallel zum Bach habe die Länge x, die anderen dann jeweils 500/x

Materialmenge ist m(x) = x + 2*(500/x)  =  x + 1000/x

Davon das Minimum mit u '(x) = 0  etc suchen
gibt    ungefähr x = 31,6 
also parallele zum Bach ist 31,6 m lang, die anderen jeweils 15,8

Answer 3

die Situation stellt sich wie folgt dar:

Fläche:

I. a * b = 500 | also b = 500/a

Zu minimierender Umfang:

II. 2a + b

I in II eingesetzt ergibt

f(a) = 2a + b = 2a + 500/a = 2a + 500 * a^-1

f'(a) = 2 + (-1) * 500 * a^-2

f'(a) = 0:

2 - 500/a² = 0

2 = 500/a² 

2a² = 500

a² = 250

a = √250 ≈ 15,81 (Meter)

b = 500/a = 500/√250 ≈ 31,62 (Meter)

Fläche = √250 * 500/√250 = 500 (Quadratmeter)

Länge des Zauns = 2 * √250 + 500/√250 ≈ 63,25 (Meter)

Besten Gruß