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Es seien U und V Vektorräume über einem Körper K. Zu einer linearen Abbildung f : U → V
wurde die duale Abbildung f *: V* → U*, ϑ↦ϑ • f, definiert. Zeigen Sie:


(a) Die Abbildung : Homk(U; V ) → Homk(V* ,U*), f → f*, ist linear.


(b) Ist f : U → V ein K-Vektorraum-Epimorphismus, so ist f* : V* → U* ein K-Vektorraum-
Monomorphismus.

Mit Ansätzen kann ich auch arbeiten.

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Zu (a):

für beliebige \(\theta \in V^*, u \in U\) gilt:

\((f+g)^*(\theta)(u)=(\theta\circ(f+g))(u)=\theta ((f+g)(u))=\theta(f(u)+g(u))=\)

\(=\theta(f(u))+\theta(g(u))=f^*(\theta)(u)+g^*(\theta)(u)=(f^*(\theta)+g^*(\theta))(u)\).

Da \(u\in U\) beliebig ist, folgt \((f^*+g^*)(\theta)=f^*(\theta)+g^*(\theta)\).

Da \(\theta\) beliebig ist, folgt \((f+g)^*=f^*+g^*\).

Nun seien \(c\in K,\theta \in V^*, u\in U\) beliebig. Dann gilt:

\((cf)^*(\theta)(u)=(\theta\circ(cf)(u)=\theta((cf(u))=c\theta(f(u))=(cf^*(\theta)(u)\).

Da \u\) und \(\theta\) beliebig sind, folgt \((cf)^*=cf^*\).

Zu (b):

\(f\) sei Epimorphismus und sei \(\theta\in Kern(f^*)\). Dann gilt:

\(f^*(\theta)=0\), d.h. \( \theta(f(u))=0\) für beliebige \(u\in U\), also

ist \(\theta\) auf dem Bild von \(f\) die Nullabbildung und da

\(f\) surjektiv ist, ist dieses Bild \(=V\), also \(\theta=0\), d.h.

\(f^*\) ist injektiv.

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