Es seien K ein Körper und V,W K-Vektorräume. Mit HomK(V,W) bezeichnen wir die Menge der linearen Abbildungen von V nach W. Wir definieren zwei Verknüpfungen:
+ : HomK(V,W) × HomK(V,W) → HomK(V,W), (f,g) ↦ f + g
· : K × HomK(V,W) → HomK(V,W), (λ,f) ↦ λ · f,
wobei für alle v ∈ V gilt:
(f + g)(v) = f(v) + g(v)
(λ · f)(v) = λ · f(v).
a)
Zeige, das + und · wohldefiniert sind (was in diesem Fall bedeutet: sind verknüpfte Abbildungen der Form f + g bzw. λ · f linear?) und HomK(V,W) mit diesen Verknüpfungen ein K-Vektorraum ist.
b)
Es sei f ∈ HomK(V,W) bijektiv. Zeige, dass f-1 ∈ HomK(V,W).
