Zeigen Sie, dass die Ebenen parallel sind. Berechnen Sie den Abstand der beiden Ebenen.

Question

Gegeben sind zwei Ebenen

\( \mathscr{E} 1: \overrightarrow{\vec{x}}=\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 2 & +s^{*} 0+ & t * 3 \\ 3 & 2 & -2\end{array} \)

\( \mathscr{E} 2: \quad \begin{array}{ccc} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \underset{x}{\rightarrow}=-9 \)

a) Zeigen Sie, dass die Ebenen parallel sind.

b) Berechnen Sie den Abstand der beiden Ebenen.

c) Die Gerade \( g: \quad \vec{x}=\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \end{array} + u * \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \) schneidet die beiden Ebenen. Berechnen Sie die Länge der Strecke, die von den Ebenen aus der Geraden g herausgeschnitten wird.

d) Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g und den Ebenen.

Answer 1

a) Der Normalenvektor der 2. E. hat mit den beiden Ri-vektoren der 1. Ebene Skalarprodukt 0.

b) also hat E2 die Hesse Normalenform (-2x + 2y + z   -  9 ) / 3 = 0
Setz den Punkt (1;2;3) von E1 ein, dann kommt statt der 0 hinten eine Zahl raus,
deren Betrag der Abstand ist.

c) Schnittpunkte ausrechnen

d)Schnittwinkel ist  90° - Winkel zwischen (-2;2;1) und (1;1;1)