ganzrationale funktion 3. grades - schreibweise nachweisen

Question

Wenn ich beispielsweise eine Funktion habe, die lautet:

f(x)=x²-1

und soll ich nachweisen und zeigen, dass diese sich auch so schreiben lässt:

f(x)=(x+1)(x-1)

reicht es dann, wenn ich diesen ausmultipliziere?

Ich weiß nicht ob es einen Unterschied macht, ich sollte das bei einer Funktionsschar zeigen, aber dürfte genau so sein, wenn es stimmt.

Dann noch eine Frage:

Wenn ich die Differenzierbarkeit einer Funktion zeigen soll und herausgefunden habe, dass diese stetig ist, jedoch nicht differenzierbar ist, dann heißt das doch, das sie mit Knick verläuft, oder?

LG

Simon

Answer 1

f(x)=x²-1

und soll ich nachweisen und zeigen, dass diese sich auch so schreiben lässt:

f(x)=(x+1)(x-1)

reicht es dann, wenn ich diesen ausmultipliziere?

Richtig. Durch das ausmultipllizieren ergibt sich

x^2 - x - x - 1 = x^2 -1

Besser beweisen geht nicht.

Ist eine Funktion stetig aber nicht differenzierbar hat sie einen Knick.

Comments

yakyu hat noch etwas genauer geantwortet bezüglich der Differenzierbarkeit.

( √ x ) ´= 1 / ( 2 * √ x )
für x = 0 ist die Ableitung nicht definiert, da Division durch 0.
Die Funktion √ x ist also an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar
hat aber keinen Knick.

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@Georgborn:

Wäre schön wenn du hier auf meinen Kommentar nochmals antworten könntest. Ich habe heute meine Mathe-Lehrerin gefragt, ob das in der Schulaufgabe mit dem Ausmultiplizieren richtig gewesen wäre. Sie sagte nein, will uns das aber auch bei der Rückgabe der Klausur erklären. Hast du eine Idee wie ich sonst den Nachweis durchführen könnte?

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Leider war bei mir ein Vorzeichenfehler vorhanden der aber am
Ergebnis nichts ändert

Richtig. Durch das ausmultipllizieren ergibt sich
Falsch
x² - x - x - 1 = x² -1
Richtig
x² + x - x - 1 = x² -1

Ein Beweis ist das Ausmultlplizieren schon
( x + 1 ) * ( x -1 ) =  x² + x - x - 1 = x² -1

Ein weiterer Beweis fällt mir nicht ein.

Du kannst ja einmal mitteilen was eure Mathelehrerin
so gesagt hat.

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Werde ich auf jeden Fall tun, ärgerlich aber trotzdem :/

Answer 2

Hi Simon,

ja klar, das ausmultiplizieren müsste hier helfen. Auf der anderen Seite könnte für dich interessant sein, dass die zweite Darstellung sogenannte Linearfaktoren beinhaltet, aus denen du direkt die Nullstellen der Funktion ablesen kannst. Insbesondere kannst du auch diese Darstellung selbst bekommen, wenn du die Nullstellen kennst.

Zu deiner zweiten Frage: Eine differenzierbare Funktion ist knickfrei. Umgekehrt muss eine stetige Funktion die an einer Stelle nicht differenzierbar ist nicht unbedingt einen "Knick" an dieser Stelle haben.

Beispiel: Die Wurzelfunktion ist in x = 0 nicht differenzierbar.

Falls eine Funktion aber einen Knick hat, so kannst du davon ausgehen, dass sie an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.

Gruß