Grenzwertbestimmung für eine alternierende geometrische Reihe

Question

Gegeben ist folgendes:

$\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2^{k}}$

Dies ist meines Erachtens eine geometrische Reihe. Auch von meiner ursprünglichen Vermutung, dass der Grenzwert 0 ist, bin ich abgerückt, mit diversen unerlaubten Hilfsmitteln habe ich herausbekommen, dass der Grenzwert 2/3 ist.

Jetzt versuch ich Folgendes herauszubekommen (Ansätze funktionieren nicht):

$2^k$ konvergiert eigentlich nicht, aber laut:

$a_{0} · \frac{1}{1-q}$

konvergiert es gegen $-1$.

Das selbe im Zähler gemacht, ergibt eine Konvergenz gegen 1/2.

Das scheint so nicht zu stimmen.

Mein derzeitiger Versuch wäre:

q=  -1/2, da das jedes mal multiplizert wird.

für a dann 1 und schon hat man die 2/3.

Aber ich glaube, dass das eher Glück ist, da man das hoch k an der 2 im Nenner überhaupt nicht berücksichtigt.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie es besser geht?

Answer 1

Hi,

der Grenzwert der geometrischen Reihe, wobei q ∈(-1,1), ist

$$\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$$

In deinem Fall ist $q = -\frac{1}{2}$ , denn $\frac{(-1)^k}{ 2^k} = (-\frac{1}{2})^k$

also ist der Grenzwert der Reihe 2/3.

Gruß