Integralrechnung: Aufgaben und Ihren Hauptsatz bestimmen

Question

Berechnen Sie das Integral mit dem Hauptsatz.

a) \( \int \limits_{0}^{2}(2+x)^{3} d x \)

b) \( \int \limits_{2}^{3}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right) d x \)

c) \( \int \limits_{0}^{2} \frac{1}{(x+1)^{2}} d x \)

d) \( \int \limits_{0}^{9} \frac{2}{5} \sqrt{x} d x \)

e) \( \int \limits_{-0,5}^{0} e^{2 x+1} d x \)

f) \( \int \limits_{-1}^{0} e^{-x} d x \)

g) \( \int \limits_{-1}^{1} \frac{1}{5} e^{\frac{1}{2} x} d x \)

h) \( \int \limits_{-2}^{2} e^{2+x} d x \)

Ansatz:

Also bei a) habe ich jetzt 32 rausbekommen und bei b) 7/6 und bei f) -1+e

Answer 1

Bei der b) kannst Du summandenweise Integrieren, also

$$ \int_{2}^{3}(1+\frac { 1 }{ x^2 })dx=[x+\frac { -1 }{ x }]_2^3=\frac { 8 }{ 3 } -\frac { 3 }{ 2 }=\frac { 7 }{ 6 }$$

Vergleiche mit Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+%282+to+3%29+%281%2B1%2Fx^2%29dx

f)

$$ \int_{-1}^{0}{ e }^{ -x }dx=[-e{  }^{ -x }]{  }_{ -1 }^0=-1-{ e }^{ 1 }=-1-(-2,718281828)= 1,7183$$

Vergleiche mit Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+-1+to+0%29+%28e^%28-x%29%29dx

Wenn Du eine Funktion hast, wie bei e), kannst Du immer die lineare Substution anwenden, also NUR wenn der Exponent linear ist!

Die Formel für die Stammfunktion lautet:

$$ \int_{-0,5}^{0}{ e }^{ 2x+1 }dx=[\frac { 1 }{ 2 }{ e }^{ 2x+1 }]{  }_{ -0,5 }^0=\frac { 1 }{ 2 }e-\frac { 1 }{ 2 }e^0=0,8591 $$

$$ \int_{a}^{b}f(px+q)dx=[\frac { 1 }{ p }F(px+q)]_a^b $$

Also Du musst die "Lineare Funktion" ableiten ...


Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Versuch mal die anderen alleine.


PS: Angaben ohne Gewähr, da ich die Differential- Integralrechnung noch nicht in der Schule hatte!

Comments

Danke, aber dass sind ja leider "nur" die Lösungen. Ich verstehe gar nicht so recht, wie du darauf kommst und mit Wolfram Alpha finde ich das auch nicht so einfach.

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Hi,

Ich dachte, dass Du schon bisschen summandenweise Integrieren kannst, aber nicht schlimm. Ich zeig dir das nochmal anhand von der b) ausführlich.

Wie ich schon gesagt habe, kannst Du die b) summandenweise integrieren, also so würde das ganze dann aussehen. Jetzt mal ohne die Grenzen:

$$ \int_{}^{}1+\int_{}^{}\frac { 1 }{ x^2 } $$

Die Stammfunktion von 1 solltest Du eigentlich wissen, oder? Diese ist x, denn wenn man x ableitet, kommt 1 raus.

Merke: 1/x² kannst Du auch schreiben als x^-2, das kommt von dem Potenzgesetz: a^-n = 1/aⁿ

Das ist die Integrationsregel, die du bei der b) anwenden musst:

$$ F(x)=\frac { 1 }{ n+1 }x{  }^{ n+1 } $$

Ich hatte schon oben erwähnt, dass die Stammfunktion von 1 x ist und nun musst Du noch 1/x² Integrieren. Ich habe dir auch gesagt, dass Du das schreiben kannst als x^-2. Jetzt musst Du nur noch diese Regel anwenden...

$$ f(x)= x{  }^{ -2 } $$
$$F(x)= \frac { 1 }{ -2+1 }{ x }^{ -2+1 } $$
$$ =\frac { 1 }{ -1 }{ x }^{ -1 } $$
$$F(x) =-{ x }^{ -1 } $$

Das letztere kannst Du wieder als Bruch aufschreiben

Also zu $$ \frac { -1 }{ x } $$

Nun hast Du deine Stammfunktion, diese lautet....siehe oben ^^

So besser? :P