extremwertaufgabe - maximalen flächeninhalt berechnen

Question

Ein Hangar für Militärfahrzeuge hat die Form einer nach unten geöffneten Parabel und kann durch die Funktion p(x)=(-1/9)x²+12 beschrieben werden. An der Vorderseite des Hangars soll ein möglichst großes Tor die Ein- und Ausfahrt der Flugzeuge ermöglichen.

Wie müssen Sie die Breite und Höhe des Tores wählen, damit das Tor möglichst groß wird. Geben Sie hierfür den Flächeninhalt an.

So, die Zielfunktion müsste ja "A=x*y" lauten, oder? Wie lautet aber dann die Nebenbedingung, damit ich eine Flächeninhaltsformel in Abhängigkeit von x oder y habe. Das würde mir hier schon reichen. :)

LG

Simon

Answer 1

A=x*y

A(x) = x* ((-1/9)x²+12 ) = -1/9 x^3 + 12x

A'(x) = -1/3 x^2 + 12

-1/3 x^2 + 12 = 0

x^2 - 36 = 0

(x-6)(x+6) = 0

x1 = 6

x2 = -6

Hoffe, das reicht so. Bitte erst mal nachrechnen!

Comments

Warum muss ich für y bei der Flächenberechnung die Funktion y einsetzen. Ich bräuchte doch die Seite y und nicht die Parabel?

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Es ist einfacher aus dem x noch das y zu berechnen, als alles auf y umzurechnen. Da kommst du ja nicht um Wurzeln rum.

Kannst du p(x)=(-1/9)x²+12 zeichnen? Da kannst du jetzt als Breite: 12 m und als Höhe y = -4m + 12m = 8 m ablesen. 

Maximale Fläche wäre dann 12*8 m^2 = 96 m^2.

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Habe das Prinzip verstanden! :)

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Achso, was wäre der Definitionsbereich für x?

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Achso, was wäre der Definitionsbereich für x? Hast du denn inzwischen deine Skizze?

x muss muss zwischen den Nullstellen der gegebenen Parabel liegen. 

Bestimme daher die Nullstellen von

y = ((-1/9)x²+12 ) 

Aus Symmetriegründen kannst du sogar voraussetzen, dass x>0 ist. 

Answer 2

zeichne es dir am besten selbst mal auf.

Die breite des Tores geht von -x bis x und die Höhe des Tores wäre dementsprechend f(x).

Also gilt für die Fläche des Tores

A = 2x*f(x)

Gruß