Lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensysteme: v1 = (0; 1; 2), v2 = (2; 1; 0), v3 = (1; 1; 1), v4 = (1; 0; 0).

Question

Im ℝ³ betrachte man die vier Vektoren

v1 = (0; 1; 2)

v2 = (2; 1; 0)

;v3 = (1; 1; 1)

v4 = (1; 0; 0).

Bestimmen Sie in jedem der folgenden vier Fälle, ob das gegebene System von Vektoren im R3
linear unabhängig (bzw. ein Erzeugendensystem des ℝ³, eine Basis des ℝ³) ist.

a) (v1,v2)

b) (v1; v2; v3),

c) (v1; v2; v4),

d) (v1; v2; v3; v4).

Frage: Könnte man mir a) bzw. b) zeigen, sodass ich den rest dann selber mache.

:)

Answer 1

Im ℝ³ betrachte man die vier Vektoren

v1 = (0; 1; 2)

v2 = (2; 1; 0)

;v3 = (1; 1; 1)

v4 = (1; 0; 0). 

Bestimmen Sie in jedem der folgenden vier Fälle, ob das gegebene System von Vektoren im R3 
linear unabhängig (bzw. ein Erzeugendensystem des ℝ³, eine Basis des ℝ³) ist.

a) (v1,v2)

lin. unabh. da die Nullen an verschiedenen Stellen.

Kein Erzeugendensystem des R^3, da nur 2 Vektoren.

b) (v1; v2; v3), 

Berechne Det(v1,v2,v3)

Falls die Determinante ≠0 -> lin unabh. und Erz.System von R^3, sonst lin. abh. und kein Erz.system von R^3.

c) (v1; v2; v4), 

Berechne Det(v1,v2,v4)

Falls die Determinante ≠0 -> lin unabh. und Erz.System von R^3, sonst lin. abh. und kein Erz.system von R^3.

d) (v1; v2; v3; v4).

Falls eine der Determianten in b) und c) nicht 0 war, ist das hier ein Erz.system des R^3.

4 Vektoren in R^3 sind immer lin. abh. Du musst da nichts rechnen.