Meine ersten Gedanken dazu:
Um zu zeigen, dass sie nicht surjektiv ist, könntest du probieren, eine Funktion zu finden, die stetig auf \(\mathbb{Q}\) ist, aber nicht auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist. Diese wäre dann ja in \(C^0(\mathbb{Q}, \mathbb{R}) \) enthalten, aber man kann kein Urbild finden in \(C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \), da die Funktion auf \(\mathbb{R}\) nicht stetig ist.
Die Injektivität kannst du sicherlich beweisen, indem du dir zwei gleiche Bildelemente nimmst und dann auf \(\mathbb{R}\) fortsetzt und zwar stetig. Musst dann zeigen, dass die Fortsetzungen auch gleich sind.
