Question

Finden Sie alle komplexen Lösungen von

z^6 + 6z^3 - 16 = 0

Meine Rechnung:

x = -3 +- √9+16 | PQ-Formel

x = -8, 2

Da fehlt doch noch irgendwas, oder?

Comments

Für die übrigen Nullstellen brauchst du eine Polynomdivision.
Dazu musst du die 1. Nulstelle raten.

Answer 1

Hi Afrob,

du hast ja \( x = z^3 \) substituiert.

Dann musst du noch rücksubstituieren und lösen:

\( z^3 = 2 \) und \( z^3 = -8 \)

Wenn du mit Einheitswurzeln gearbeitet hast müsste dies kein Problem sein. Ansonsten schreib die komplexen Zahlen in Polardarstellung und versuche sie dann zu lösen.

Gruß

Comments

Welche komplexen Zahlen? Ich hab doch gar keine?!

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Afrob: Alle reellen Zahlen sind auch komplex.

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Die Aufgabe sagt doch finde alle komplexen Lösungen.....

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Okay, aber wie kann ich jetzt genau die Polarform bestimmen, wenn ich nur 2 und -8 habe?

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z^3 = 2*e^{i*0}

und

z^3 = 8 * e^{i*π}

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Und wie "löst" man die jetzt?

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Z= |z|^n•[cos(n•phi)+isin(n•phi)]

Da stehen aber schon die Lösungen...

Answer 2

Von hier aus kommst du nur mit der Theorie Wurzeln in C weiter. https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln Wenn ihr das noch nicht behandelt habt, lies unbedingt den ganzen verlinkten Wikipedia-Artikel.

z³ = 2*e^i*0

und

z³ = 8 * e^i*π

z³ = 2*e^i*0

z1 = ³√2

z2 = ³√2 * e^{i2π/3}

z3 =^3√2 * e^{i4π/4}

und

z³ = 8 * e^i*π

z1 = 2*e^{iπ/3}

z2= 2*e^ (i(π/3 + 2π/3))

z3=2*e^ (i(π/3  + 4π/3))