Geben Sie eine Basis für SSym_{3×3}(ℝ) an und bestimmen Sie die Dimension. (Schief-symmetrische Matrizen, Unterraum)

Question

Aufgabe:

Wir befassen uns in dieser Aufgabe mit schief-symmetrischen Matrizen. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass eine quadratische Matrix schief-symmetrisch ist, wenn gilt \( A^{T}=-A \). Die folgende Matrix \( S \) ist ein Beispiel für eine schief-symmetrische \( (3 \times 3)- \) Matrix:

\( S=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 3 & 1 \\ -3 & 0 & -6 \\ -1 & 6 & 0 \end{array}\right] \)

(a) Weisen Sie nach, dass die Menge aller schief-symmetrischen \( (3 \times 3)- \) Matrizen (kurz: SSym \( _{3 \times 3}(\mathbb{R}) \) ) ein Untervektorraum der Menge aller \( (3 \times 3)- \) Matrizen Mat \( _{3 \times 3}(\mathbb{R}) \) ist.

(b) Geben Sie eine Basis für \( \mathrm{SSym}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) \) an und bestimmen Sie die Dimension.

(c) Verwenden Sie Ihre Einsichten aus Teil (b) und geben eine Basis für \( \operatorname{SSym}_{n \times n}(\mathbb{R}) \) an und bestimmen dafür die Dimension.

(d) Zeigen Sie: Das lineare Gleichungsystem \( A x=0 \), bei dem \( A \) eine von der Nullmatrix verschiedene schief-symmetrische \( (3 \times 3) \) - Matrix ist, besitzt eine nicht-triviale Lösung.

Hinweis: Es reicht aus, eine nicht-triviale Lösung zu ermitteln.

Problem:

Ich finde nicht den richtigen Ansatz, muss ich nur die Vektoren aufstellen und die Eigenschaften des Untervektorraums nachweisen? Wie?

Answer 1

a)  sind R und S schiefsymmetrisch, dann gilt S^T = -S  und R^T = -R
dann auch  (S+R)^T = S^T + R^T  =  -S + (-R) = - (S+R)
und für alle a aus IR    (aS)^T = ...............  = -(aS)
also Vektorraum

b) die sehen alle so aus        0  -a  -b
                                              a   0   -c
                                              b   c    0

In der Diagonale ist ja -x = x, also eine Null.

0  -a  -b                   0 -1 0
         a  0   -c     =    a *     1 0 0       +  b * ...                  + c *  ...
         b   c    0                   0  0  0
und die drei Matrizen rechts kann man leicht als lin. un. nachweisen,
also   dim=3 und Basis sind eben diese drei.

übertragen auf n gibt   (n² - n) / 2  und die Basismatrizen sind
analog zum Fall 3 immer mit einer 1 und einer -1 "gegenüber" und sonst Nullen.

d) einfachstes Argument:  Determinante ist Null.

Comments

Wie weist man das denn genau in a) nach?

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Abgeschlossenheit hatte ich doch schon notiert.

Fehlt nur noch:

Nullmatrix ist schiefsymmetrisch und zu jeder

schiefsymmetrischen Mat. A ist auch -A schiefsymm.