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Könnt ihr mir bei den Beispielen den Rechenweg zu quadratischen Gleichungen erklären, also wie man solche Gleichungen löst.

$$ 1. \; \frac{3 x-10}{x-2}=1+\frac{x-4}{x+1} \\ 2. \; \frac{10 x}{(3 x+4) \cdot(2 x+1)}=\frac{5 x}{2 x+1} $$

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x muss so gewählt werden, dass der Nenner der Brüche ≠ 0 ist. 

In Aufgabe e) darf x also weder 2 noch -1 sein,

in Aufgabe f) kann x nicht einen der folgenden Werte annehmen:

-4/3 und -1/2

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Es folgen ausführliche Lösungen mit allen Schritten.


Lösung zu Aufgabe 1:

$$ \frac{3 x-10}{x-2}=1+\frac{x-4}{x+1}  \qquad |·(x-2) \\ 3x-10 =1·(x-2) + \frac{x-4}{x+1}·(x-2)  \qquad |·(x+1) \\ (3x-10)·(x+1) = 1·(x-2)·(x+1) + (x-4)·(x-2) \\ \; \\ \text{Jetzt ausmultiplizieren: } \\ (3x·x+3x·1+(-10)·x+(-10)·1 = 1·(x·x + x·1 + (-2)·x + (-2)·1) + (x·x + x·(-2) + (-4)·x + (-4)·(-2) \\ 3x^2+3x -10x - 10 = x^2 + x -2·x - 2 + x^2 -2x -4x + 8 \\ 3x^2 - 7x - 10 = 2x^2 - 7x + 6 \\ 3x^2 - 7x - 10 = 2x^2 - 7x + 6  \qquad | -2x^2 \\ x^2 - 7x - 10 = - 7x + 6  \qquad | +7x \\ x^2 - 10 = 6  \qquad | +10 \\ x^2 = 16  \qquad | \sqrt{}\\ |x| = \sqrt{16} \\ x_1 = 4; \; x_2 = -4 $$

Mit der Probe sieht man, dass beide Lösungen korrekt sind.

Zeichnet man Linksterm und Rechtsterm als Graphen, sieht man die Lösungen als Schnittpunkte bei x=-4 und x=-4:


Lösung zu Aufgabe 2:

$$ \frac{10 x}{(3 x+4) · (2 x+1)}=\frac{5 x}{2 x+1} \qquad |·(2x+1) \\ \frac{10 x}{3x+4} = 5x \qquad |·(3x+4) \\ 10 x = 5x·(3x+4) \\ 10 x = 5x·3x+5x·4 \\ 10 x = 15x^2+20x \qquad |-10x \\ 0 = 15x^2+10x \qquad | \text{ Satz vom Nullprodukt* }\\ 0 = x·(15x+10) \\ \rightarrow x_1 = 0 \\ \; \\ \text{Lösung von 15x+10=0} \\ 15x + 10 = 0 \\ 15x = -10 \\ x = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3} \rightarrow x_2 = -\frac{2}{3} $$

*siehe: https://www.matheretter.de/wiki/satz-vom-nullprodukt

Zeichnet man Linksterm und Rechtsterm als Graphen, sieht man die Lösungen als Schnittpunkte:


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