Beweisen Sie, dass log x = o(1/2) für x->0 gilt

Question

Beweisen Sie, dass | log x| = o(1/x) für x → 0 gilt.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole#Definition

Answer 1

Nach der Definition aus Wiki muss folgendes berechnet werden

$$ \lim_{x\to 0} \left|  \frac{\log(x)}{\frac{1}{x}} \right|  $$
Das kann man mit l'Hospital machen und es folgt
$$ \lim_{x\to 0} \left|  \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} \right|= \lim_{x\to 0} |x|=0 $$
Also gilt
$$ |log(x)| = o\left(\frac{1}{x}\right)   $$

Comments

die regel von l.Hospital dürfen wir leider noch nicht verwenden.
Kann man nicht auch einfach umformen zu lim x->0 von Betrag von x*log(x) was auch = 0 ist?

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Dann fällt mir nur noch der Weg über die Potenzreihen Entwicklung des Logarithmus ein. Dein Vorschlag führt aber nicht zum Ziel, da dann ein aAusdruck von \( 0\cdot \infty \) entsteht.

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darf man aus 0*∞ nicht auf 0 schließen?

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kann mir bitte jdn helfen wie man hier weiter macht ? :( . Danke

Sabrina.

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die Reihenentwicklung für den Logarithmus sieht wie folgt aus

$$  ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k} $$

Also

$$  (1+x)\cdot ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}(1+x)=$$

$$ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^{k+1}}{k}=  $$

$$  x+\sum_{k=2}^\infty (-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}+\sum_{k=2}^\infty (-1)^{k}\frac{x^{k}}{k-1}=  $$

$$  x+\sum_{k=2}^\infty (-1)^kx^k\left(  \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} \right) $$

Der letzte Ausdruck ist an der Stelle \( x=-1\) zu berechnen. das ergibt

$$  -1+\sum_{k=2}^\infty (-1)^k(-1)^k\left(  \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} \right)=-1+\sum_{k=2}^\infty \left(  \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} \right)=0 $$

Was zu beweisen war.