Beweis, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert

Question

Wir wissen, dass die Reihe

∑^∞_n=1    1/n^s

divergent für  s = 1 ist.

Beweisen Sie:

(a) Diese Reihe ist divergent für 0  < s < 1.

(b) Diese Reihe ist konvergent für  s >1.

Wie soll man das beweisen? Mit vollständiger Induktion? Oder Grenzwert bestimmen mit lim?
Kann mir jemand einen Ansatz oder Lösungs- bzw. Rechenweg zeigen?

Answer 1

siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium

Comments

kann das keiner lösen ? ich brauche Hilfe ! Danke .
Sabrina .

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Im Link ist doch eine Lösung deines Problems. Was ist daran unklar?

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ich weiss nicht wie ich anfangen soll bzw. wie ich richtig beweisen kann denn im linkt steht dass konvergent ist ansonsten divergent , wie kann man divergent und konvergent einzeln beweisen ?

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Die hast zwei Sachen die du beweisen sollst. Beweise für beides sind im Link.

Das folgt daraus das die geom. Reihe \( \sum_k q^k\)  für |q|<1 konvergiert und divergiert für |q|>1.

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kannst du mir bitte mehr helfen ? das wäre wirklich nett von dir , denn ich weiss echt nicht wie ich das beweisen soll :(

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Das Problem ist, ich weiß nicht genau wie ich dir helfen kann, da du nicht sagst wo das Problem ist. Wenn du den verlinkten Beweis durchgehst, wo bleibst du hängen?

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kann man für a) einfach so beweisen  :

für s <=0 ist die reihe divergent da die 1/n^s keine nullfolge bilden aber für die Aufgabe ist s zwischen 0 und  1 wie kann ich das bitte beweisen ?

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Das Trivialkriterium ist wie du richtig erkannt hast nicht das richtige Werkzeug um die Aussage zu beweisen.

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also konvergent konnte ich schon beweisen aber für 0<s<1 weiss ich nicht wie ich das machen soll :(