Beweise. Mächtigkeit. Surjektiv und injektiv

Question

Seien C und D Mengen

 Definition:

|C| ≤ |D| genau dann wenn es eine injektive Abbildung f : C → D gibt.

Beweisen Sie:

1. Gilt C ⊆ D, so folgt |C| ≤ |D|.

2.  Ist f : C → D eine surjektive Abbildung, so folgt |C| ≤ |D|

Answer 1

Rückrichting.

\( f: C \to Bi(f) \) ist eine Bijektion auf eine Untermenge also |C| ≤ |D|.

Hinrichtung:

Es exist. eine Bij. auf eine Untemenge, diese liefert die gewünschte Injektion.

1. Die Identität ist injektiv.

2. Die Aussage ist falsch: \( f:\{1,2\} \to \{1\} \quad x \mapsto 1 \) ist surjektiv mit |C|>|D|