Rekonstruktion von Funktionen mit Talsenke

Question

Aufgabe:

Eine Talsenke hat die Form einer quadratischen Parabel.

a) Beschreiben Sie den Verlauf der Senke durch eine geeignete quadratische Funktion.

b) 10 m vom rechten Rand der Senke wird ein 50 m hoher Aussichtsturm gebaut. Bis zu welchem Punkt ist die Senke von oben einsehbar?

 

Answer 1

Hi,

a)

Stelle die drei Bedingungen mit den Punkten auf

f(-20)=150

f(0)=0

f(40)=300

Daraus ergibt sich das Gleichungssystem:

400a - 20b + c = 150

c = 0

1600a + 40b + c = 300

Das gelöst ergibt: f(x) = 0,25x^2 - 2,5x

b)

Stelle eine Geradengleichung auf. Bekannt sind P(40|300) und A(50|350).

A ergibt sich aus den Zusatzangaben.

y = 5x + 100

Gleichsetzen:

0,25x^2-2,5x = 5x+100  |-5x-100

0,25x^2-7,5x-100 = 0      |:0,25, dann pq-Formel

x₁ = -10 und x₂ = 40

Es kann also bis B(-10|f(-10)) -> B(-10|50) eingesehen werden.

Grüße

Comments

ok super danke

das hatte ich mir auchgedacht

aber b und c sind 0  weil die Parabel ist ja weder auf der y Achse noch auf der x Achse verschoben das kann man ja an der Skizze sehen da bei 0 0

wie  muss man das denn dann machen weil einfach nur dann die punkte einsetzten da kommt bei seiden was anderes für a raus???

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Ich kann Dir gerade nicht folgen? Was machst Du gerade, bzw. willst Du machen? :P

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Ich glaub er ist verwirrt, weil es in der Skizze so aussieht, dass der Scheitelpunkt der Parabel in (0/0) liegt und die Funktion deswegen seiner Meinung nach die Form f(x) = ax^2 haben soll.

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genau die form ist einfach nur noch ax^2

wie bekomme ich jetzt a raus wenn b und c 0 sind?

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Aso danke Yakyu.

@hj241: Die Parabel liegt nicht in der von Dir geforderten Form vor. Sie lautet allgemein y = ax^2+bx+c, wobei c = 0 direkt abgelesen werden kann. Der Scheitelpunkt ist leicht verschoben. Siehe obiges Gleichungssystem.

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ok aber woher weißt du das sie ein bisschen verschoben ist?

weil unser lehrer hat auch gesagt das sie nicht verschoben ist

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Dadurch, dass ich die Punkt P₁ - P₃ genutzt habe um die Parabel aufzustellen. Eine Parabel braucht 3 Punkte um genau bestimmt zu sein. Damit kam ich auf obiges. Eine verschobene Parabel ;).

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ok gut das dachte ich mir ja auch aber es ist angeblich falsch..

kannst du es auch lösen nur mit a??

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Nein, da sehe ich keine Möglichkeit das exakt zu lösen. Dann wird entweder P₂ oder P₃ außen vor gelassen und dann kann man die ganze Aufgabe in die Tonne kloppen :P.

So wie ich das gerechnet habe, bei aller Bescheidenheit, sollte das passen. Das Ergebnis, welches recht schön anmutet, ist dafür ein weiteres Indiz ;).

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ok trotzdem danke

dann nur nochmal eine frage zu b

wie kommst du auf die Gleichung y= 5x+100

und dann zum Schluss auf den punkt weil es kommt ja -10 und 4 bei der pq Formel raus?

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^^ Ich lasse mich gerne vom Gegenteil überzeugen, würde aber bis das der Fall ist, von der Richtigkeit meiner Funktionsgleichung ausgehen.

Die Gerade wurde gebildet aus P₃ und A. Das sind zwei Punkte, die Geradengleichung aufzustellen sollte ja kein Problem sein.

Die Stelle 40 ist ja klar, dass die wieder dabei ist. Das ist ja P₃ hatte ich ja benutzt um die Geradengleichung aufzustellen. x = -10 ist der zweite Schnittpunkt mit der Parabel. Wie gezeigt und auch auf der Skizze im Buch (rote Linie) zu sehen.

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ok ja werde ich morgen sehen was richtig ist.. aber ich dachte es auch so wie du

kannst du mir nochmal dein additiosverfahren sagen weil ich habe es auch mit dem verfahren gerechnet aber ich komme leider auf 3/76 aber eigentlich ist das kein problem für mich:(

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Additionsverfahren wäre hier auch nicht unbedingt nötig. Löse die erste Gleichung nach a auf und setze sie in die dritte ein ;). c = 0 kannste ja schon überall einsetzen.

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verstehe ich nichtweil die erste Gleichung hat ja auch 2 variablen  also a und bund dann einsetzten macht ja kein sinneinsetzungsverfahren macht ja nur sinn wenn du dann die eine in die andere einsetzten kannst

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Löse die erste Gleichung nach a auf. Das ist ja kein Problem, nicht? Dann dieses a in die dritte Gleichung einsetzen :).

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ja das ist ja dann 400a = -150 + 20 b

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Das ist zwar nicht nach a aufgelöst, so aber hätte ich das selbst getan^^.

400a  = 150 + 20b  (I)

1600a +40b = 300  (II)

(mit 1600a = 4*400a)

(I) in (II)

4*(150+20b) + 40b = 300

600 + 80b + 40b = 300

120b = -300

b = -2,5

Und dann noch a ausrechnen -> a = 0,25

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@unknown. kleiner Fehlerhinweis
1.Antwort
Es kann also bis B(-10 | f (-20)) -> B(-10|50) eingesehen werden.
sondern
Es kann also bis B(-10 | f (-10)) -> B(-10|50) eingesehen werden.

@Fragesteller
Dich hat der Scheitelpunkt irritiert
Die Koordinaten ( 0  | 0 ) müssen nicht unbedingt bedeuten
das dies der Scheitelpunkt ist bzw. das es sich um eine
Normalparabel ( ax^2 ) handelt
Es gilt
x = 0 : ax^2 = 0  ( 0 | 0 )
x = 0 : ax^2 + bx = 0  auch ( 0 | 0 )

Die Aufgabe kann nach bewährtem Schema berechnet werden
Ansatz ( ohne sich groß Gedanken zu machen )

allgemeine Parabelgleichung
f ( x ) = ax^2 + bx + c
3 Punkte sind gegeben ergibt 3 Gleichungen.
3 Geichungen mit 3 Unbekannten : ist lösbar.

@alle
Das Foto war für nicht lesbar. Ich mußte es erst nach Paint
überspielen und dann die Lupenfunktion nutzen.