Den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen

Question

Ich soll folgende Gleichung lösen:

Berechnen Sie explizit den Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion: f(x) = x³

Leider habe ich ehrlich gesagt keine Ahnung wie das funktionieren soll.

Ich weiß, das der Differenzquotient die Steigung angibt mit:

f(x) - f(x₀)
_______
x - x₀

Bei x³ wäre das dann doch:

x³ - x₀³
______
x - x₀

Ich freue mich über eine Lösung und eine Erklärung.

Answer 1

der Quotient ist so schon richtig. Mach jetzt eine Polynomdivision und dann kannst du auch für\( x = x_0\) einsetzen und kommst auf das Ergebnis \( f'(x_0) = 3x_0^2 \).

Gruß

Comments

Ich kenne die Polynomdivision nach diesem Muster (x³+x²+x) : (x - 1).

Wie setze ich das korrekt in die Polynomdivision ein?

Ich komme leider noch nicht weiter :(

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Du musst den Zähler durch den Nenner teilen (selbe Nullstelle)

\( (x^3-x_0^3) : (x-x_0) = x^2+x_ox+x_0^2 \)

Wie genau die Polynomdivision funktioniert kannst du hier zum Beispiel nachlesen:

https://www.matheretter.de/wiki/kubische-gleichungen#polyber

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Rechne ich jetzt kommt dort doch dann als erstes eine 2 im Ergebnis oder was missachte ich?

(x³ - x₀³) : (x - x₀) = 2...

Edit danke !

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Denk Link habe ich auch schon offen gehabt :) doch:

Wenn ich nochmal nachfragen darf: Wie kommt du im Mittelteil auf x₀x - das verstehe ich noch nicht.

Leider sind die Beispiele dort nicht so komplex

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Meine Rechnung:

(x³ - x₀³) : (x - x₀) = x²

x³ - x₀³

0

Wo liegt mein Fehler?

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Ich probiers mal so:

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Vielen Dank - das ist schon sehr kompliziert.

Ich nehme an ich kann nun die pq-Formel benutzen - doch wie setze ich das ein / rechne damit?

p = x₀x

q = x₀²

?

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Warum pq-Formel? Du setzt nach der Polynomdivision einfach \( x= x_0 \) was du ja vorher nicht durftest da sonst 0 im Nenner stehen würde.

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Achso !

= x² + x₀x + x₀²

= x₀² + x₀x₀ + x₀²

= 3x₀²

Korrekt?

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Ja wunderbar eingesetzt. =)

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Bingo! Vgl. mit der Antwort von Yakyu.

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Vielen vielen Dank für die Hilfe !

Answer 2

anbei der Rechenweg

Eine frohe Adventszeit wünscht Georg