Wie kann ich den Satz des Pythagoras bei Körpern benutzen?

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Der Stz des Pythagoras ist ja a² + b² = c². also für ein rechtwinkliges Dreieck gedacht.

Wie kann ich den Satz jetzt so erweitern, dass ich mit ihm Strecken im Dreidimensionalen (also bei Körpern) berechne. habe gehört, dass das geht!
Gefragt 5 Sep 2012 von Gast jb6577

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Beste Antwort

Was Akelei und Lu geschildert haben sind aber nur Spezialfälle des allgemeinen Falles einer beliebigen Strecke im freien Raum. Für diese kann man die Länge ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras berechnen!

Sind die Begrenzungspunkte der Strecke P1(x1, y1, z1) und P2(x2,y2,z2), dann gilt für die Länge s der Strecke:
s2 = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

 

Für die Herleitung denkt man sich einen Würfel, der die Strecke als Diagonale besitzt:

Als Beispiel hier eine Skizze für die Punkte

P1(0, 4, 2) und P2(6, 0, 0)

Der Quader hat die Seitenlängen a=6, b=4 und c=3.

Um die Länge s der roten Strecke zu berechnen, berechnet man zuerst die Länge r der blauen Strecke nach dem Satz des Pythagoras:

r2=a2+c2

Jetzt musst du beachten, dass die blaue Strecke gemeinsam mit der roten Strecke und der Strecke zwischen D und P2 ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck bildet!

Daraus folgt:
r2+b2=s2

r2 ist aber bereits von oben bekannt, somit folgt:

s2=a2+b2+c2,

was man auch als euklidischen Abstandsbegriff im Raum bezeichnet.

Beantwortet 5 Sep 2012 von Julian Mi Experte X
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Der Satz des Pythagoras ist in den Körpern gut anwendbar in denen der Querschnitt ein rechtwinkliges Dreiechk erkennen läßt , zBsp.: Kegel,Diagonale bei Würfel, Tetraeder , Pyramide, Oktaeder usw.

Eigentlich erweitert man den Satz nicht  sondern formt ihn dann nur um.

zum Beispiel beim Kegel

h²+r²=Mantelinie²
Beantwortet 5 Sep 2012 von Akelei Experte XIX
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Bei dreidimensionalen Körpern findest du, wenn nötig mit Hilfslinien, Dreiecke mit rechten Winkeln, in denen du dann Katheten und Hypotenusen mit a,b resp. c bezeichnen kannst.

Typischerweise verwendet man als Hilfslinie die Höhe eines Körpers. Da kann es sich ergeben, dass der Durchstosspunkt im Innern der Grundfläche liegt und dort weitere Hilfslinien nötig sind. Somit in der Grudfläche ev. wieder ein rechtwinkliges Dreieck…

Es kommt aber auf die Form des betrachteten Körpers an.
Beantwortet 5 Sep 2012 von Lu Experte XCVII

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