Benötige Hilfe bei Preiselastizitäten in Verbindung mit partiellen Funktionen

Question

seit ein paar Stunden rechnen wir nun mit partiellen Ableitungen, neu hinzugekommen sind nun (Preis-)Elastizitäten.

Bei der Funktion z = f(x,y) = ln x -1/10 mal (x-y)² - 1/5 y     (z = Nachfragemenge, x = Preis je ME Herstellungsgut 1, y = Preis je ME Herstellungsgut 2)

Nun werden werden zwei Aufgaben gestellt, bei denen ich nicht weiss, wie ich sie mathematisch lösen kann:

1: Bei welcher Preiskombination (=stationäre Stelle) wird die maximale Nachfragemenge erreicht? Zeigen sie über hinreichende Bedingungen, dass es sich wirklich um ein relatives Maximum handelt.

2: Bestimmen sie für diese Funktion die partielle Nachfrageelastizität E_{f(x,y) ; x} an der Stelle x=1 und y=-4. Interpretieren sie ihr Ergebnis!

Die partiellen Ableitungen habe ich bereits alle gebildet, es fehlt mir lediglich das Verständnis dafür was genau man in den Aufgaben von mir verlangt und wie man so etwas löst.

Ich bedanke mich schon mal im voraus für eure Hilfe ;)

Comments

wurde euch das schon erklärt?

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

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Nein, davon habe ich leider noch nie etwas gehört oder gesehen.

Ist das denn notwendiges Basiswissen, um die Aufgabe korrekt zu lösen?

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Der wiki-Artikel ist leider wenig praxisorientiert abgefasst, aber gemeint ist die Bildung der zweiten Ableitungen, aus denen die hinreichende Bedingung eines Extremums begründet wird. Bei mehreren Variablen ensteht eine Matrix aus zweiten Ableitungen, deren Determinante erkennen lässt, ob es sich um ein Minimum, Maximum oder anderes handelt.

$$ \begin{pmatrix}  \frac {\partial^2 z}{\partial x\partial x} &  \frac {\partial^2 z}{\partial x\partial y} \\  \frac {\partial^2 z}{\partial y\partial x} &  \frac {\partial^2 z}{\partial y\partial y}\end{pmatrix} $$

Berechne zunächst diese Ableitungen und dann sehen wir weiter ...

Answer 1

Bei der Funktion z = f(x,y) = ln x -1/10 mal (x-y)² - 1/5 y    
(z = Nachfragemenge, x = Preis je ME Herstellungsgut 1,
y = Preis je ME Herstellungsgut 2)

Nun werden werden zwei Aufgaben gestellt, bei denen ich nicht weiss,
wie ich sie mathematisch lösen kann:
1: Bei welcher Preiskombination (=stationäre Stelle) wird die maximale
Nachfragemenge erreicht? Zeigen sie über hinreichende
Bedingungen, dass es sich wirklich um ein relatives Maximum handelt.

f ( x , y ) = ln x -1/10 * ( x - y )² - 1/5 * y    
fx ´= 1/ x - 1/10 * 2 * ( x - y ) * 1
fx ´= 1/ x- 1/5 *x + 1/5 y

fy ´= - 1/10 * 2 ( x - y ) * (-1) - 1/5
fy ´= 1/5 * x - 1/5 * y - 1/5

Extremwert
1/ x- 1/5 *x + 1/5 y = 0
1/5 * x - 1/5 * y - 1/5 = 0
x = 5
y = 4

2.Ableitung
fx ´´ = -1/x^2 - 1/5
fy ´´ = -1/5
fx ´´ ( 5 ) = -1/5^2 - 1/5 negaitv
Beide Ableitung sind negativ also Hochpunkt.

2: Bestimmen sie für diese Funktion die partielle  Nachfrageelastizität
E_{f(x,y) ; x} an der Stelle x=1 und y=-4. Interpretieren sie ihr Ergebnis!

Ich bin leider kein Kaufmann und muß daher passen.

Ich hoffe die Antwort hat dir weitergeholfen.

Comments

Danke erstmal für die Hilfe!

Immerhin stimme ich bei den Ableitungen überein, auch der Rest scheint mir schlüssig.

Aber was bedeutet nun "stationäre Stelle"? Ist das das optimale Verhältnis der beiden Herstellungsgüter um ein Maximum zu erzielen?

Danke noch einmal für die Hilfe :)

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Es genügt nicht nur zweimal nach x bzw. zweimal nach y abzuleiten, sondern die 1. Ableitung nach y muss anschliessend nach x abgeleitet werden und die erste Ableitung nach x muss anschliessend nach  y abgeleitet werden.

"Aber was bedeutet nun "stationäre Stelle"?"

Das ist eine Stelle für die gilt, dass alle ersten Ableitungen Null sind. Das ist eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Das kann der kaufmännisch gesehen optimale Zustand, aber auch der schnellste Weg in die Insolvenz bedeuten. Oder auch gar nichts. Daher müssen diese Stellen mit der Hesse-Matrix weiter untersucht werden.

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Hallo Fragesteller,

anbei ein 3D-Graph der Funktion.

Mit etwas Phantasie erkennt man bei x = 5 und y = 4
ein Maximum.

Aber was bedeutet nun "stationäre Stelle"? Ist das das optimale
Verhältnis der beiden Herstellungsgüter um ein Maximum zu erzielen?

Ich kann dir die Berechnungen die ich angeführt habe gern erläutern,
weiß jetzt aber nicht ob ich bereits offene Türen einrenne.

Kurzfassung :
Du hast 1 Funktion mit 2 unabhängigen Variablen.
Jetzt setzt du einen Variable y als konstant, das heißt du
hast eine Funktion die nur noch 1 Variable x enthält.
Dies entspricht in der Skizze dem Verlauf der Funktion an
einer Stelle y: Schnitt durch die Skizze z.B. y = 4 parallel
zur x-Achse. Diese Funktion kannst du ableiten, zu 0 setzen
und die Extrema finden.
Dasselbe machst du in der anderen Richtung.
Das ergibt 2 Gleichung mit 2 Unbekannten die aufgelöst
wurden. In diesem Fall gibt es nur die Lösung ( 5  | 4 ).

Noch ein anschauliches Beispiel. Die Landkarte der Alpen in
100 km x 100 km. Vorhanden : die Höhenmeter in Abhängigkeit
von x und y. Für jeden Gipfel gilt : dort ist die Steigung in x und y Richtung
null. Außerdem hast du auch Tiefpunkte ( Talsenken ). Mit Hilfe
der partiellen Differzierung kannst du alle Hoch- und Tiefpunkte
des Gebirges ermitteln.