Teile das Intervall [0,1] in n gleichgroße Teile. Skizze: Es gilt x1 = 1/n und xk = k·x1 = k/n. Die Fläche unter dem Graphen wird angenähert durch die Summe aus den Flacheninhalten von n Rechtecken, die alle die gleiche Grundseite 1/n haben. Die Höhen berechnen sich zu yk = f(xk) = 1 - k2/n2. Ein solches Rechteck hat also den Flächeninhalt (1/n)·yk = (1/n)·(1-k2/n2). Summieren ergibt sn = ∑k=1,...,n ((1/n) - k2/n3) = 1 - (1/n3)·∑k=1,...,n k2 = 1 - (1/n3)·n·(n + 1)·(2n + 1)/6 = 2/3 - 1/(2n) - 1/(6n2). Dabei wurde die bekannte Lösungsformel für die Summe der ersten n Quadratzahlen verwendet. Der Grenzwert für n → ∞ ist demnach 2/3. Bemerkung: Dies sind die sog. Untersummen. Analog berechnet man die Obersummen. Damit erhält eine Intervallschachtelung für die Fläche unter dem Graphen.
