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Ich bitte um die nachvollziehbare Erstellung der Riemannsche Summe für die Funktion F(x)=1-x^2 , im Intervall(0,1) in n gleichen Teilen. Bitte sehr ausfühlich zum nachvollziehen. Lasst mich nicht dumm sterben.

Danke für eine baldige Antwort.
von

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Teile das Intervall  [0,1]  in  n  gleichgroße Teile. Skizze:

Es gilt  x1 = 1/n  und  xk = k·x1 = k/n. Die Fläche unter dem Graphen wird angenähert durch die Summe aus den Flacheninhalten von  n  Rechtecken, die alle die gleiche Grundseite  1/n  haben.
Die Höhen berechnen sich zu yk = f(xk) = 1 - k2/n2.
Ein solches Rechteck hat also den Flächeninhalt (1/n)·yk = (1/n)·(1-k2/n2).
Summieren ergibt  sn = ∑k=1,...,n ((1/n) - k2/n3) = 1 - (1/n3)·∑k=1,...,n k2
= 1 - (1/n3)·n·(n + 1)·(2n + 1)/6 = 2/3 - 1/(2n) - 1/(6n2).
Dabei wurde die bekannte Lösungsformel für die Summe der ersten  n  Quadratzahlen verwendet.
Der Grenzwert für  n → ∞  ist demnach  2/3.
Bemerkung: Dies sind die sog. Untersummen. Analog berechnet man die Obersummen. Damit erhält eine Intervallschachtelung für die Fläche unter dem Graphen.

von
Besten Dank,super klare Antwort.So macht Mathe Spass.

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