P-fast sichere Konvergenz einer Stichprobenvarianz

Question

vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen:

Sei X₁,...,X_n unabhängige Zufallsvariablen mit der Varianz σ²:= Var(X₁). Außerdem sei gegeben

$$s_n^2(X_1,...,X_n):=\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^n(X_i-\bar {X})^2 \quad \text{wobei } \ \bar{X}:=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i.$$

Zu zeigen ist, dass $$s_2^n\overset{p}{\to}\sigma^2$$ p-fast sicher konvergiert. Ich habe auf vielen Seiten recherchiert, auch auf englischen - dennoch können sie mir dort nicht weiterhelfen :/ Kann mir jemand bitte helfen? :)

Answer 1

Die Idee ist das starke Gesetz der ganzen Zahlen anzuwenden.
Mit dem Trick: $$ (X-Y)^2=(X-a+(a-Y))^2=(X-a)^2-2(X-a)(a-Y)+(Y-a)^2 $$
läss sich folgendes zeigen
$$ s_n^2= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i- \mu)^2-(\tilde{X} -\mu )^2 $$

mü bezeichnet wie üblich den Erwartungswert der \( X_i\).

Jetzt auf \( (\tilde{X} -\mu )\) das sGdgZ loslassen und anschließend nochmal auf den Rest (Def. der Varianz dabei nicht vergessen)