Stochastische Konvergenz impliziert fast sichere Konvergenz

Question

Aufgabe:

$\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ sei eine Folge von nichtnegativen diskreten Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ und es gelte $X_{n+1}(\omega) \leq X_{n}(\omega) \quad \forall n \in \mathbb{N}, \forall \omega \in \Omega$
Zeigen Sie, dass aus $X_{n} \stackrel{P}{\longrightarrow} 0$ auch $X_{n} \stackrel{P-f . s .}{\longrightarrow} 0$ folgt!
Hinweis: Es gilt $\left\{\omega \in \Omega: X_{n}(\omega) \neq 0\right\}=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=1}^{\infty} B_{n}^{(k)},$ wobei
$B_{n}^{(k)}=\left\{\omega \in \Omega: X_{m}(\omega) \geq 1 / k \quad\right.$ für ein $\left.m \geq n\right\}=\left\{\omega \in \Omega: X_{n}(\omega) \geq 1 / k\right\}$
(Die letzte Gleichheit gilt wegen $\left.X_{n+1}(\omega) \leq X_{n}(\omega) .\right)$

Problem/Ansatz:

Ich habe leider garkeinen Ansatz und versteh auch den Hinweis nicht. Vielleicht kann ja jemand helfen :)