Verknüpfung einer linearen Abbildung mit einem Rang? Was hat das für Auswirkungen?

Question

Seien U, V, W endlich erzeugte K-VR. 2 lineare Abbildungen phi: U -> V und psi V -> W . Es soll bewiesen werden, dass der rang von phi größer gleich ist als die Verknüpfung des ranges von psi mit der linearen Abbildung phi.

Ich verstehe in diesem Kontext nicht, was mit dem rang passiert, wenn dieser mit einer Abbildung verknüpft wird  und wie dies dann kleiner sein kann.

Comments

Ich denke mal ,dass das so gemeint ist:
 Rg(phi(x)) >= Rg(psi(phi(x)))

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Es wurden im Aufgabenblatt keine Klammern gesetzt....das macht natürlich Sinn :D

Answer 1

Seien U, V, W endlich erzeugte K-VR. 2 lineare Abbildungen phi: U -> V und psi V -> W . Es soll bewiesen werden, dass der rang von phi größer gleich ist als die Verknüpfung des ranges von psi mit der linearen Abbildung phi.

Der Rang ist die Dimension des Bildes.

Mit der Verknüpfung meinst du wohl die Verkettung der beiden Abbildungen
psi ° phi : U → W.

Stell dir also eine Basis von U vor. Wenn du die Basis mit der Abb. phi abbildest,
erhältst du die Erzeugenden des Bildes von U, welches ein Unterraum von
V ist.

Ähnlich ist es, wenn du eine Basis von V mit psi nach W abbildest, dann erhältst
du ein Erzeugendensystem für Bild(psi) und dessen Dimension ist der Rang von psi.

Weil Bild(phi) ein Unterraum von V ist, ist das Ergebnis der Abbildung psi für

diesebeiden psi(Bild(phi) ein Unterraum von psi(V).

Der Rang(psi ° phi) ist die Dimension von psi(Bild(phi)
und Rang (psi) ist die Dimension von psi(V).

Da die Dimension eines Unterraumes immer kleiner gleich der
Dimension des gesamten Raumes ist, ist die Aussage bewiesen.