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Hey, ich hätte zu folgender Aufgabe ein paar Fragen.

Gegeben sei die lineare Abbildung φ : R 4 → R 4 mit darstellender Matrix (bezüglich der Standardbasis

im R 4 )

A =

1

2-33
-1-12-1
3304
-3144


Bestimmen Sie eine Basis des Kerns und des Bilds der linearen Abbildung.

Die Basis des Kerns bestimme ich doch, wenn ich die Matrix als LGS mit Ax=0 ausrechne oder?

Sprich, ich habe 4 Gleichungen:

1) x1+2x2-3x3+3x4=0 usw..

Hier eliminiere ich jetzt nach - und nach meine Parameter und setze dann rückwärts ein und bekomme so x1, x2,x3,x4 raus. Jetzt muss ich nurnoch irgendwas der Form ker(φ) = {λ * (x1,x2,x3,x4)T: λ ∈ ℝ}. Stimmt das so?

Und zum Bild der linearen Abbildung weiß ich nicht, was ich machen muss, wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

von

1 Antwort

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wenn deine Matrix wirklich stimmt,
ist es ganz einfach:

Gauss-Algorithmus bringt sie auf Stufenform

und du siehst:  4 Stufen

Also Kern = { 0-Vektor} und die

Spalten der Matrix bilden eine Basis für

das Bild.  Das ist allerdings ganz IR4 .


von 172 k

die matrix stimmt leider nicht, in der ersten Zeile muss statt der -3 eine -1 sein...

Dann sieht der Fall anders aus:Da bekomme ich rang = 3

und  Basis für den Kern ist  ( 3 ; -11 ; -1  ; 6 ) .


das habe ich auch raus, ist die Abbildung injektiv oder surjektiv?

Wenn der Kern  aus mehr als der 0 besteht, ist nie Injektivund nach Dimensionssatz ist

dim Bild φ = 3 also auch nicht surjektiv.

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