Hilfe zur Darstellungsmatrix einer Permutation

Question

Es sei π ∈ S_n eine Permutation und K ein Körper. Man betrachte die Abbildung f_π : Kⁿ → Kⁿ, welche durch 

f_π(x₁, . . . , x_n) = (x_π(1), . . . , x_π(n)) gegeben ist. 

Nun soll ich zeigen, dass f eine lineare Abbildung und sogar ein Isomorphismus ist und die Koordinatenmatrix von f_π bezüglich der Standardbasis des Kⁿ bestimmen.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar :)

Answer 1

Hi Hanfred,

Linearität kannst du direkt an den dazugehörigen Eigenschaften überprüfen. Isomorphismus kannst du mittels angabe einer Umkehrabbildung folgern. Die darstellende Matrix ist eine Matrix die die Einträge vertauscht, also eine Einheitsmatrix bei der die Zeilen vertauscht sind.

Gruß

Comments

$$ \pi(v_n) = \sum_{n=1}^{n}{0} \cdot v_n = 0 $$

und daraus folgere ich dass es eine basis existiert, da diese vektoren ein maximales linear unabhänginges System sind.
Mir scheint meine lösung sehr banal deswegen verunsichert mich die aufgabe
danke für hilfe im voraus

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oh tut mir leid hab einen Fehler bei dem Formel in derAbbildung gemacht :(