Bitte bitte bitte :)
Du hast etwas wichtiges vergessen. Und zwar, dass u zwischen -1 und 2 liegen muss. Könntest du u beliebig wählen, hättest du mit deiner Aussage recht:
Lösung der Aufgabe:
Wenn du wissen willst für welches u der Abstand zwischen den zwei Punkten P und Q am größten wird, betrachtest du ja die Differenz der y-Werte. Was du zunächst tun musst ist eine neue Funktion zu finden, die den Abstand zwischen den beiden Graphen beschreibt. Das klingt vielleicht am Anfang schwer, ist es aber nicht wie du sehen wirst.
Die y-Werte der beiden Funktionen lassen sich ja berechnen, indem man einen Wert für x einsetzt. So haben wir es ja oben gemacht. Nun kennen wir unser x aber nicht, weswegen wir einfach die beiden Funktionen in unsere Formel
$$ \left| p_{ y }-{ q }_{ y } \right| $$
einsetzen. Dieses py ist ja der y-Wert des Punktes P, welchen wir durch einsetzen von x in Kf(x) erhalten haben.
Und dieses qy ist ja der y-Wert des Punktes Q, welchen wir durch einsetzen von x in Kg(x) erhalten haben. Das heißt also
$$ { p }_{ y }={ K }_{ f }(x)\quad bzw.\quad { q }_{ y }={ K }_{ g }(x) $$
Durch Einsetzen in unsere Formel erhalten wir
$$ \left| { K }_{ f }(x)-{ K }_{ g }(x) \right| $$
Wir ziehen ja weiterhin einfach den y-Wert der Funktion Kg(x) von dem y-Wert der Funktion Kf(x) ab.
Nun setzen wir für die jeweilige Funktion einfach ihre Funktionsgleichung ein und vereinfachen so weit wie möglich:
$$ \left| { K }_{ f }(x)-{ K }_{ g }(x) \right| =\left| \left( -{ x }^{ 2 }+4 \right) -\left( -x+2 \right) \right| =\left| -{ x }^{ 2 }+4-\left( -x \right) -2 \right| =\left| -{ x }^{ 2 }+4+x-2 \right| =\left| -{ x }^{ 2 }+x+2 \right| $$
Der Graph dieser Funktion sieht so aus:
Dies soll dir jetzt helfen zu verstehen wo der Abstand zwischen den Punkten P und Q am größten ist. Je weiter ein y-Wert an einer Stelle x dieser Funktion von der x-Achse entfernt ist, desto größer ist der Abstand zwischen den Punkten P und Q.
Wenn du mal das erste Bild, dass ich in meinem Beitrag habe betrachtest, siehst du es gut.
An den Stellen x=0 und x=1 kannst du oben erkennen, dass die Punkte P und Q, die auf diesen Graphen liegen würden, den Abstand 2 haben. Hier unten bei dem Bild siehst du, dass der y-Wert an den Stellen x=0 und x=1 der Zahl 2 entspricht.
An den Stellen -1 und 2 schneiden sich die beiden Graohen, weswegen der Abstand 0 beträgt. Hier unten siehst du, dass die y-Werte an den Stellen x=-1 und x=2 ebenfalls 0 sind.
Anschaulich erkennst du, dass der größte Abstand also bei x=0,5 liegt. Allerdings kannst du das nicht einfach aus dem Schaubild ablesen, sondern musst es berechnen. Dies geht wie folgt:
Die Parabel hat die Gleichung
$$ -{ x }^{ 2 }+x+2 $$
Nun musst du zunächst die Nullstellen bestimmen. Das kannst du zum Beispiel über den die p-q-Formel machen. Allerings musst du zunächst die Gleichung mit -1 multiplizieren, da ein x² vorne stehen muss, wenn du die p-q-Formel anwenden möchtest. Also erhältst du die Gleichung
$$ { x }^{ 2 }-x-2 $$
p=-1 und q=-2 kann man sofort einfach ablesen.
Nun einfach die Werte für p und q in die Formel einsetzen und x1 und x2 berechnen:
$$ { x }_{ 1,2 }=-\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt { { \left( \frac { p }{ 2 } \right) }^{ 2 }-q } =-\frac { \left( -1 \right) }{ 2 } \pm \sqrt { { \left( \frac { -1 }{ 2 } \right) }^{ 2 }-\left( -2 \right) } =\frac { 1 }{ 2 } \pm \sqrt { 0,25+2 } $$
$$ =\frac { 1 }{ 2 } \pm \sqrt { 2,25 } =\frac { 1 }{ 2 } \pm 1,5$$
$$ Also\quad { x }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } -1,5=-1\quad und\quad { x }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } +1,5=2 $$
Nund hast du die beiden Nullstellen der Parabel und kannst somit auch ganz einfach den Hochpunkt (bzw. Tiefpunkt) berechnen. In unseren Fall ist es ein Hochpunkt.
Dazu musst du einfach x1 und x2 in diese Formel einsetzen:
$$ \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } =\frac { -1+2 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } $$
Der Hochpunkt liegt also an der Stelle x=0,5. Diese Stelle ist dein gesuchtes u, also u=0,5.
Wenn du noch den Abstand wissen möchtest, einfach 0,5 in folgende Formel einsetzen
$$ \left| -{ x }^{ 2 }+x+2 \right|=\left| -{ 0,5 }^{ 2 }+0,5+2 \right|=-0,25+0,5+2=2,25 $$
Also beträgt der maximale Abstand zwischen den Punkten P und Q, wenn u zwischen -1 und 2 liegt, 2,25 Längeneinheiten.
