Ein oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll so hergestellt werden, dass bei einem Rauminhalt von 10 dm³ die Oberfläche minimal ist. Welche Maße muss der Karton haben?
Grundfläche x*x und Höhe h Alles in dm.
Dann x*x*h=10 also h = 10 / x^2
Oberfläche
O(x) = x^2 + 4*h*x = x^2 + 4 * (10/x^2) * x = x^2 + 40/x
Jetzt O ' (x) = 2x - 40 / x^2 und dann O '(x) = 0
gibt 2x^3 - 40 = 0
x^3 = 20
x = 3. Wurzel aus 20 ungefähr 2,714
Jetzt vielleicht noch mit O '' prüfen, ob das wirklich ein Min. ist.
Sind die Seiten der Grundfläche und
h = 10 / x^2 = 10 / (3.√(20) ^2 ungefähr 1,357
