Es soll ein offener quaderförmiger Behälter aus einem Stahlblech hergestellt werden.

Question

Aufgabe:

Es soll ein offener quaderförmiger Behälter aus einem Stahlblech mit den angegebenen Maßen (in dm) hergestellt werden (durch Knicken und Verschweißen). Die Abknickbreite x (siehe Zeichnung) ist so zu bestimmen, dass der Behälter ein Max. Volumen aufweist.

1.1 Geben Sie zunächst eine Funktion V(x) an, die das Volumen des Quaders in Abhängigkeit von x darstellt.

1.2 Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an.

1.3 Bestimmen Sie mit Hilfe der Differnzialrechnung die Maße des Quaders. Länge, Breite, Höhe für Max. Volumen.

1.4 Weisen Sie mit Hilfe eines Kriteriums nach, dass es tatsächlich das Max. Volumen ist.

1.5 Welchen Wert hat das maximal Volumen.

Problem/Ansatz:

Comments

Gibt es noch weitere Lösungsschritte für die Restlichen Aufgaben?

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Das Volumen soll maximal sein. Also ist das Maximum/Hochpunkt der Funktion gesucht. Das erhältst du, wenn du die erste Ableitung = 0 setzt und nach x auflöst. Diesen Wert setzt du in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis < 0, ist an dieser Stelle ein Maximum.

Answer 1

1.1 Geben Sie zunächst eine Funktion V(x) an, die das Volumen des Quaders in Abhängigkeit von x darstellt.

V(x) = (10-2x)·(8-2x)·x Grundfläche=(10-2x)·(8-2x). Höhe=x . Für x muss gelten 0<x<4.

Comments

Vielen Dank für den Anfang.

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1.2 Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion an.
Definitionsbereich={x|0<x<4}_ℝ.

1.3 Bestimmen Sie mit Hilfe der Differnzialrechnung die Maße des Quaders. Länge, Breite, Höhe für Max. Volumen.

V(x)= (ausmultipliziert) 4x³-36x²+80x

V'(x)=12x²-72x+80

0=12x²-72x+80=12(x²-6x+20/3)

x_1;2=3±√21/3

Maximum für x=3-√21/3

Länge 10-2(3±√21/3) Breite 8-2(3-√21/3) Höhe 3-√21/3 Volumen V(3-√21/3)≈52,51

1.4 Weisen Sie mit Hilfe eines Kriteriums nach, dass es tatsächlich das Max. Volumen ist.

An der Stelle 3-√21/3 ist die zweite Ableiung negativ.

1.5 Welchen Wert hat das maximal Volumen. V(3-√21/3)≈52,51