Seien v_{1}, …, v_{n} paarweise senkrechte Vektoren in einem euklidischen Vektorraum. (Pythagoras mit Vektoren - Beweis)

Question

Aufgabe (Satz des Pythagoras):

Seien \( v_{1}, ..., v_{n} \) paarweise senkrechte Vektoren in einem euklidischen Vektorraum.

Zeigen Sie: \( || v_{1} + ... + v_{n} || ^{2} = || v_{1} || ^{2} + ... + || v_{n} || ^{2} \)

Answer 1

\( \| v_1 + \dots +v_n\|^2 = \langle v_1 + \dots , v_n, v_1, \dots , v_n\rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \langle v_i, v_j\rangle \overset{(*)}{=}\sum_{i=1}^n\langle v_i, v_i\rangle=\| v_1\|^2 + \dots +\|v_n\|^2 \)

(*): Da die Vekoren paarweis senkrecht sind, gilt folgendes \( \langle v_i , v_j \rangle =0, \text{ wenn } i \neq j \)

Answer 2

kann man bei der aufgabe vektoren beliebig wählen oder müssen diese dann paarweise senkrecht zueinander sein? ich habe das einmal mit den vektoren v1 =(a,b,c) v2=(d,e,f) und v3=(g,h,i) gerechnet und komme nicht auf die gleiche lösung nach dem umformen beider seiten.

3 Vektoren reichen nicht. Theoretisch könntest du hier auch per Induktion agieren. Ich würde dir empfehlen die Definition über das Skalarprodukt zu verwenden und auszunutzen, dass die Vektoren paarweise orthogonal sind. Dann kannst du die Gleichheit beider Seiten recht schnell zeigen.

Gruß

Comments

warum reichen 3 vektoren nicht aus? und was meinst du damit, dass wir das skalarprodukt verwenden sollen?

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Ein Fall reicht ja nicht für einen allgemeinen Beweis oder? Habe grade gelesen das du Nicht auf das Ergebnis kommst. Dann musst du dich verrechnet haben oder nicht verwendet haben das die vektoren paarweise senkrecht sind.

Im euklidischen Vektorraum ist doch:

$$ ||v||^2 = \langle v,v \rangle $$