Bestimmen Sie für f(x) = Betragsfunktion für den Wert 15 die Stelle(n)

Question

Bestimmen Sie für den Wert 15 die Stelle(n):

$$f(x)=|x+2|+|x+4|+|x-1|+|x-4|$$

Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Ich müsste ja nach x auflösen. Doch ist dies eine Betragsfunktion, die abhängig von x verschiedene Vorzeichen aufweisen kann.

Answer 1

f(x)=|x+2|+|x+4|+|x−1|+|x−4| = 15
 
Da brauchst du Fallunterscheidungen.
erst Mal
x>=4   x+2 + x+4 +x+1 + x-4 = 15
                            4x = 14
   x= 3,5  keine Lösung da nicht >= 4
dann
x<4 und x>=1    x+2 + x+4 +x+1 -x+4 = 15
                                             2x  +11 = 15
                               2x  =  4
                                          x= 2    Das ist eine Lösung.
dann
x<1 und x>=-2    etc.
     

Comments

danke für die Antwort.

Darf ich fragen, aus welchem Grund Du beim ersten Fall "x+1" schreibst und nicht "x-1"?

Wenn x grösser gleich 4 ist, dann ist x auch grösser gleich 1, daher muss dieses "Paket" nicht mit (-1) multipliziert werden.

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Oh pardon, nicht aufgepasst.

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x>=4   x+2 + x+4 +x-1 + x-4 = 15
Der Rest stimmt aber .
                            4x  = 14
   x= 3,5  keine Lösung da nicht >= 4

x<4 und x>=1    x+2 + x+4 +x-1 -x+4 = 15
                                             2x  + 9 = 15
                               2x  =  6
                                          x= 3   Das ist eine Lösung.

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Kein Problem.  

Jetzt aber eine Frage zum "Aufstellen der Fälle": Ich brauche da immer unendlich lange, weil ich für jeden "Betragsblock" einzeln die zwei Fälle aufschreibe. Danach muss ich die relevanten Fälle unter den 2⁴ möglichen Kombinationsmöglichkeiten finden. 

Du schreibst das anscheinend aber gleich auf aus dem Kopf. 

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wenn das alles Beträge in der Form  | x + a | sind, ist es eigentlich nicht so wild.

Hier habe ich mir das erst angesehen und dann gemerkt:

Die Stellen an denen man die Beträge ggf. ändern muss sind

-4   -2   +1    +4  

also hast du nur die Fälle

x > 4   (  dann ist bei dem Rest eh klar, dass x>-4 und x>-2 etc ist.

dann käme der Fall zwischen 1 und 4

dann zwischen -2 und 1

und dann zwischen-4 und -2

und noch x<-4.

Mehr Fälle sind nicht nötig.

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Besten Dank! Das hat mir geholfen! (: