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Ich schreibe bald eine Mathearbeit über Grenzwertberechnung und bin total verwirrt. Wir wurden mit Kopien zu diesem Thema überhäuft und ich habe nun leider völlig den Überblick verloren.

Folgende Methoden zur Berechnung der Grenzwerte haben wir kennengelernt: h-Methode, GWS und höchste Potenz im Zähler und Nenner ausklammern.

Hier nun ein paar Fragen:

1. Wie berechne ich allgemein den Grenzwert gegen +- unendlich von einer Funktion? GWS, h-Methode oder höchste Potenz ausklammern?

2. Muss ich bei den GWS bei der Division etwas mit dem Definitionsbereich beachten?

3. Ich weiß, dass bei rationalen Funktionen der Grenzwert dem Funktionswert entspricht. Das gilt jedoch nicht bei gebrochenrationalen Funktionen oder?

von
Steht GWS für Grenzwertsatz? Und in welchem Zusammenhang. Potenzreihen?

Am besten sortierst du mal eure Beispiele gemäss der angegebenen Methoden. So siehst du bestimmt, wie typischerweise die Beispiele aussehen.

Bei gebrochenrationalen Funktionen kannst du bei Definitionslücken erst  in Bruchterme einsetzen, wenn du faktorisiert und fertig gekürzt hast.

1 Antwort

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1.) Wie berechne ich allgemein den Grenzwert gegen +- unendlich von einer Funktion?? GWS , h-Methode oder höchste Potenz ausklammern?

Die h-Methode ist für die praktische Rechnung eher nicht geeignet. Er hilft, um die ersten Grenzwerte auszurechnen, sobald es aber komplizierter wird, hilft die Methode nicht mehr weiter.

Im Normalfall rechnet man mit den Grenzwertsätzen - dazu gehört auch das Ausklammern der höchsten Potenz. Das sind also die Methoden, die man unbedingt beherrschen muss.

2.) Muss ich bei den GWS bei der Division etwas mit dem Definitionsbereich beachten?

Ja, die (klassischen) Grenzwertsätze gelten nur, wenn alle vorkommenden Terme definiert sind, für die Division

lim (f/g) = (lim f)/(lim g)

muss insbesondere lim g ≠ 0 gelten.

Es gibt allerdings sogenannte erweiterte Grenzwertsätze, die einige Fälle von uneigentlichen Grenzwerten (also Unendlich) behandeln.
Man notiert diese Sätze häufig formal in der folgenden Form:

i) ∞ + ∞ = ∞

ii) ∞*∞ = ∞

iii) c/∞ = 0, für c < ∞

iv) c/0 = ∞, für 0 < c < ∞

v) c/0 = -∞, für -∞< c < 0

Unbestimmte Ausdrücke der Formen ∞/∞, 0/0, 0*∞, 1 oder ∞-∞ bedürfen allerdings einer genaueren Untersuchung (Stichwort l'Hospital)

3.) Ich weiß, dass bei rationalen Funktionen der Grenzwert dem Funktionswert entspricht. Das gilt jedoch nicht bei gebrochenrationalen Funktionen oder?

Das ist richtig. Gebrochen rationale Funktionen können Definitionslücken besitzen, weil eine Teilung durch 0 vorliegt. Ein Beispiel:

(x²-2x+1)/(x-1)

ist für x=1 nicht definiert, weil der Nenner dann 0 ergibt. Bestimmt man den Grenzwert, erhält man aber den Grenzwert 0.

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