Es seien U und V zwei Untervektorräume im R^{n}. Entscneiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Question

Es seien \( U \) und \( V \) zwei Untervektorräume \( \operatorname{im} \mathbb{R}^{n} \). Entscneiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.

(a) Die Vereinigung \( U \cup V \) ist stets ein Untervektorraum vom \( \mathbb{R}^{n} \).

(b) Der Schnitt \( U \cap V \) ist stets ein Untervektorraum vom \( \mathbb{R}^{n} \).

(c) Falls ein Untervektorraum vom \( \mathbb{R}^{3} \) die Vektoren \( (2,0, \mid 7)^{T} \) und \( (0,0,3)^{T} \) enthält, so enthält er auch den Vektor \( (1,0,0)^{T} \).

Answer 1

um so eine Aufgabe zu lösen muss dir klar sein:

1. Welche Eigenschaften gelten für einen Untervektorraum.

Wenn du das nicht auf anhieb weißt dann schreib dir das sorgfältig auf.

Jetzt musst du zur korrekten Beantwortung schauen

2. Gelten diese Eigenschaften auch für die Mengen aus (a) und (b).

(a) -> Nein, \( U \cup V\) ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition. Dafür reicht ein Gegenbeispiel.

(b) -> Ja, alle Eigenschaften werden erfüllt.

(c) Die entspricht nun der Frage ob \( (1,0,0)^T \) sich als Linearkombination von \((2,0,7)^T\) und \( (0,0,3)^T \) darstellen lässt. Auch hier ist die Antwort ja.

Gruß