Y ist eine gleichverteilte ZV auf [0, 1]. Für welche Funktion f hat Z = f(Y) die Exponentialverteilung mit Parameter 1?

Question

ich habe schon einen Ansatz, bin mir aber leider überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt.

Also, da Y gleichverteilt ist gilt:

$$ { F }_{ Y }(x)=\int _{ -\infty  }^{ x }{ f(t)dt\quad =\int _{ -\infty  }^{ x }{ \frac { 1 }{ 1-0 } { 1 }_{ [0,1] }(t)dt= }  } \int _{ 0 }^{ x }{ { 1 }_{ [0,1] }(t)dt=x }  $$

So und damit f(Y) exponentialverteilt ist muss gelten:

$${ F }_{ Z }(x)=\int _{ 0 }^{ x }{ { e }^{ -t }dt={ -e }^{ -x }+1 } ={ F }_{ Z }(f(Y))$$,

also muss $$f(x)={ -e }^{ -x }+1$$ sein.

Stimmt das so?

Vielen Dank schonmal für jede Antwort!

Comments

habe nochmal gegooglet und herausgefunden, dass das mit der Inversionsmethode zusammenhängt und dass meine gesuchte Funktion die inverse Funktion von dem oben genannten f ist. Leider verstehe ich aber nicht, warum das so sein muss...