Für die Definitionsmenge gilt D=ℝ\{-7, 4}, da du, wenn du -7 bzw. 4 einsetzt, ein Nenner der Brüche immer 0 wäre. Allerdings darfst du nicht durch 0 teilen, weswegen du diese Zahlen also aus dem Definitionsbereich nehmen musst.
$$ \frac { 3x-7 }{ x-4 } =\frac { 5x-5 }{ x+7 } -2 $$
Als erstes bringst du die Brüche \( (5x-5)/(x+7) \) und \( 2/1 \) durch Erweitern auf den Hauptnenner, also x+7, und fasst so viel wie möglich zusammen.
$$ \frac { 3x-7 }{ x-4 } =\frac { 5x-5 }{ x+7 } -\frac { 2\cdot (x+7) }{ 1\cdot (x+7) } \\ \frac { 3x-7 }{ x-4 } =\frac { 5x-5 }{ x+7 } -\frac { 2x+14 }{ x+7 }\\ \frac { 3x-7 }{ x-4 } =\frac { 5x-5-(2x+14) }{ x+7 }\\ \frac { 3x-7 }{ x-4 } =\frac { 5x-5-2x-14 }{ x+7 } \\ \frac { 3x-7 }{ x-4 } =\frac { 3x-19 }{ x+7 } $$
Nun multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit den Nennern der Brüche und fasst wieder so viel wie möglich zusammen.
$$ \frac { 3x-7 }{ x-4 } \cdot (x-4)=\frac { 3x-19 }{ x+7 } \cdot (x-4)\\ 3x-7=\frac { (3x-19)\cdot (x-4) }{ x+7 } \\ (3x-7)\cdot (x+7)=\frac { (3x-19)\cdot (x-4) }{ x+7 } \cdot (x+7)\\ (3x-7)\cdot (x+7)=(3x-19)\cdot (x-4)\\ 3{ x }^{ 2 }+21x-7x-49=3{ x }^{ 2 }-12x-19x+76\\ 3{ x }^{ 2 }+14x-49=3{ x }^{ 2 }-31x+76\\ 14x-49=-31x+76\\ 45x-49=76\\ 45x=125\\ x=\frac { 125 }{ 45 }\\ x=\frac { 25 }{ 9 }$$
Für die Lösungsmenge gilt also L={25/9}
Hatte bei "Der_Mathecoach" gesehen, dass ich einen kleinen Rechenfehler hatte, jetzt stimmt's aber.
