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Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom zu den nachfolgenden Messdaten.

i01234
xi-10123
f(xi)-7-111017

von

1 Antwort

+1 Daumen

Die Basis der Newton-Interpolation lautet:

N0(x) = 1

Ni(x) = ∏j=0i-1 (x-xj)

wobei i von 1 bis zur Anzahl der gegebenen Punkte läuft.

Damit lautet der Ansatz für deine Funktion wegen n = 4

f(x) = c0 + c1(x+1) + c2(x+1) x + c3 (x+1) x (x-1) + c4 (x+1) x (x-1) (x-2)

Der Trick an diesem Verfahren ist, dass beim Einsetzen der gegebenen Punkte viele Summanden bereits wegfallen.

Man erhält das Gleichungssystem:

c0 = -7
c0 + c1 = -1
c0 + 2c1 + 2c2 = 1
c0 + 3c1 + 6c2 + 6c3 = 10
c0 + 4c1 + 12c2 + 24c3 + 24c4 = 17

Dieses Gleichungssystem lässt sich sehr einfach von oben nach unten lösen, man erhält:

c0 = -7
c1 = 6
c2 = -2
c3 = 11/6
c4 = -5/6

Also:

f(x) = -7 + 6(x+1) - 2(x+1)x + 1/2 (x+1)x(x-1) + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

Durch ausmultiplizieren der Klammern erhält man:

f(x) = -1+ x/2 - 7/6 x^2 + 7/2 x^3 - 5/6 x^4

von 10 k

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