Determinante in Abhängigkeit von x und y ermitteln - kann mir dabei jemand helfen?

Question

Hallo. Ich bin gerade dabei meine Hausaufgaben, Thema Matrizenrechnung zu mache . Aber leider komme ich bei der folgenden Aufgabe nicht wirklich weiter.Gegeben ist die Matrix:
A=x y 0 1
-y 2x -1 00 1 0 -2y-1 0 2y 4x
Nun soll ich die Determinante in Abhängigkeit von x und y ermitteln - aber wie stelle ich das an?Zudem wird die Frage gestellt, ob es gewisse reelle Zahlen x und y gibt, so dass der Rang von A echt kleiner als 4 ist - die jeweilige Entscheidung soll kurz begründet werden.
Also über einen Ansatz komme ich leider nicht hinaus, aber ich glaube selbst der ist komplett falsch :-(Hier mal mein Ansatz:
det(A)=
-y*   |-y -1 0|       +     2x*   |x 0 1|          -     1*    |x 0 1|         +     0*      |x 0 1||0 0 -2y|                     |0 0 -2y|                     |-y -1 0|                       |-y -1 0||-1 2y 4x|                    |-1 2y 4x|                   |-1 2y 4x|                    |0 0 -2y|
Ja soweit komme ich eben, weiß aber nicht ob das der richtige Ansatz ist und wie es jetzt weitergehen würde....Kann mir dabei bitte jemand helfen?Dankeschön!!!!!

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Okay, ich habe wohl irgendetwas falsch gemacht als ich dir Frage gestellt habe, hier mal ein Bild:

Answer 1

Du entwickelst nach der 2. Zeile. Dann fängt es abernicht mit -y * det....   an sondern

mit  - ( -y ) * det(...).  und bei der 3. muss auch -1 davor stehen.

Aber wenn du jetzt weiter machst, ist es doch nicht so wild:

die 4. Det brauchst du gar nicht, da steht ja 0* davor, gibt eh 0.

Und dann fang ich mal oben an:

Die erste würde ich nach der 2. Zeile entwickeln, das gibt

-0* det(...) + 0*det(...) -(-2y) * det  - y   - 1

-1     2

=  2y * ( -2y - 1) = -4y^2 - 2y

Bei der 2. ist es so ähnlich und

bei der 3. halt etwas aufwändiger, würde ich nach 1. Zeile entwickeln.

Dann alles einsetzen und zusammenrechnen müsste ergeben

8x^2 y^2 + 4x^2 + 4y^4 + 4y^2 + 1

und weil dies 5 Summanden sind, die wegen der Quadrate, bzw. hoch 4 alle nie

negativ sind, ist die det immer mindestens 1, also nie Null.

Für Rang kleiner 4 müsste aber det=0 sein.

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Ich danke dir vielmals, du hast mir echt sehr geholfen. Also war mein Ansatz doch nicht ganz falsch :-)

Dankeschön!!!!!