lösen einer gleichung von funktionen

Question

Die Funktionen f,g,h,j : (0,∞) → ℝ erfüllen  x→∞
f(x)= o(g(x))      und    h(x)= O(j(x))

Zeigen sie dass :
 
f(x)h(x)= o(g(x)j(x)) für x→∞ gilt !

Gilt ferner auch :

f(x)+h(x)= O(g(x)+j(x))  für x→∞   ?

Begründen sie Ihre Aussage.


Hat jemand die Lösung für diese Aufgabe?


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Answer 1

$$f(x) = o(g(x)) \Rightarrow f(x)<cg(x), c>0$$

$$h(x)=O(j(x)) \Rightarrow h(x) \leq aj(x), a>0$$

$$f(x)+h(x)<cg(x)+aj(x) \leq \max\{a, c\}(g(x)+j(x)) \\ \Rightarrow f(x)+h(x)=o(g(x)+j(x)) \Rightarrow f(x)+h(x)=O(g(x)+j(x))$$