Aussagen zur Integralrechnung, wahr oder falsch?

Question

Aufgabe:

Es sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion und es gelte \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 . \) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Antwort.

(a) Es gilt \( f(x)=0 \) für alle \( x \in[a, b] \).

(b) Es gilt \( \int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x \).

(c) Es gilt \( \int \limits_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0 \).

(d) Es existiert ein \( \xi \in[a, b] \) mit \( f(\xi)=0 \).

Answer 1

Bei a zum Beispiel :

Betrachte mal :

f(x) = x im Intervall von -1 bis 1

b ) Wenn du die Grenzen vertauschst, so ändert sich das Vorzeichen beim Intervall. Was bedeutet das für deinen Fall?

c) Betrachte das selbe Beispiel wie in a.

d) Bin mir unsicher . Aber es gibt ja zwei Fälle:
Einmal f(x) = 0

Und einmal der Fall,dass die Fläche einmal über dem Graphen und einmal (in selber Größe) unter dem Graphen liegt. Also muss es ein d und e gegeben,sodass : f(d)<0 und f(e)>0 .

Jetzt Zwischenwertsatz benutzen.

Comments

Als kleine Ergänzung:

d) folgt sofort aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es sei \(a\neq b\), denn sonst ist die Aufgabe ziemlich uninteressant. Der MWS liefert nun

$$ \exists~\xi \in [a,b]: \underset{=0}{  \underbrace{\int_{a}^{b} f(x)dx}  }  =  f(\xi) \cdot (b-a) $$

und es folgt \(f(\xi) =0\).

Da aber in der Aufgabe nicht \(a\neq b\) als Bedingung gegeben ist, müsste man eigentlich sagen, dass das in diesem Fall falsch ist,  denn z.B. ist \(\int_{1}^{1} e^x dx = 0\) aber \(e^1 \neq 0\).