Aussagen zur Integralrechnung, wahr oder falsch?

Question

Aufgabe:

Es sei $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion und es gelte $\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0 .$ Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Antwort.

(a) Es gilt $f(x)=0$ für alle $x \in[a, b]$.

(b) Es gilt $\int \limits_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int \limits_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x$.

(c) Es gilt $\int \limits_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x=0$.

(d) Es existiert ein $\xi \in[a, b]$ mit $f(\xi)=0$.

Answer 1

Bei a zum Beispiel :

Betrachte mal :

f(x) = x im Intervall von -1 bis 1

b ) Wenn du die Grenzen vertauschst, so ändert sich das Vorzeichen beim Intervall. Was bedeutet das für deinen Fall?

c) Betrachte das selbe Beispiel wie in a.

d) Bin mir unsicher . Aber es gibt ja zwei Fälle:
Einmal f(x) = 0

Und einmal der Fall,dass die Fläche einmal über dem Graphen und einmal (in selber Größe) unter dem Graphen liegt. Also muss es ein d und e gegeben,sodass : f(d)<0 und f(e)>0 .

Jetzt Zwischenwertsatz benutzen.

Comments

Als kleine Ergänzung:

d) folgt sofort aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es sei $a\neq b$, denn sonst ist die Aufgabe ziemlich uninteressant. Der MWS liefert nun

$$\exists~\xi \in [a,b]: \underset{=0}{ \underbrace{\int_{a}^{b} f(x)dx} } = f(\xi) \cdot (b-a)$$

und es folgt $f(\xi) =0$.

Da aber in der Aufgabe nicht $a\neq b$ als Bedingung gegeben ist, müsste man eigentlich sagen, dass das in diesem Fall falsch ist,  denn z.B. ist $\int_{1}^{1} e^x dx = 0$ aber $e^1 \neq 0$.