Implizite Funktion Hessematrix bestimmen im Punkt (0|0).

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( z=z(x, y) \) sei implizit gegeben durch die Lösung der Gleichung

\( f(x, y, z)=z^{3}+z+x y=2 \)

Ansatz/Problem:

Ich muss die Hessematrix bestimmen im Punkt (0|0). Also dafür brauche ich die 2. Ableitungen z_xx,z_xy,z_yy,z_yx.

Die δ_yz(x,y)= -y/(3z² +1) und Die δxz(x,y)= -x/(3z² +1)

Das Problem ist dass, wenn ich z.B. die 2 Ableitung nach x bestimme komme ich auf sowas ( und bin nicht sicher wie  ich die δx z^2 berechnen kann?

\( \partial x \partial x_{2}(x, y)=\frac{-1 \cdot\left(3 z^{2}+1\right)-\sqrt{\left(3 \partial x^{2}\right)} \cdot(-x)}{\left(3 z^{2}+1\right)^{2}} \)

Answer 1

Wäre das ein Vorschlag ?

$$ z^3+z+xy-2=0 $$---
$$ \frac{\partial f}{\partial x}= y$$
$$ \frac{\partial f}{\partial y}= x$$
$$ \frac{\partial f}{\partial z}= 3z^2+1$$---
$$ \frac{\partial f^2}{\partial x \partial x}= 0$$
$$ \frac{\partial f^2}{\partial y \partial x}= 1$$
$$ \frac{\partial f^2}{\partial z \partial x}= 0$$---
$$ \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}= 1$$
$$ \frac{\partial f^2}{\partial y \partial y}= 0$$
$$ \frac{\partial f^2}{\partial z \partial y}= 0$$---
$$ \frac{\partial f^2}{\partial x \partial z}= 0$$
$$ \frac{\partial f^2}{\partial y \partial z}= 0$$
$$ \frac{\partial f^2}{\partial z \partial z}= 6z$$---

$$ \nabla ^2 (f)=  \begin{pmatrix}  0 & 1&0 \\ 1 & 0&0\\0&0&6z \end{pmatrix}$$

Comments

wie kommst du auf ∂x∂x=0?

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Ableitung von y nach x

y ist konstant in Bezug auf Variable x, da y unabhängig von x

Ableitung einer Konstante gleich null

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aber was ist mit z? Es ist eine implizite Funktion  und z hängt auch von x ab, also wir können es nicht einfach als konstante betrachten? das was eigentlich mein Problem...

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$$\frac {∂f}{∂x}=y $$
$$ \frac{ ∂f}{∂y}=x  $$
$$ \frac {∂f}{∂z}=3z^2+1 $$
stimmt - ab da geht es so weiter:
$$\frac {\partial z}{\partial x}=\frac {\frac {∂f}{∂x}}{\frac {∂f}{\partial z}}=\frac{y}{3z^2+1}$$
$$\frac {\partial z}{\partial y}=\frac {\frac {∂f}{∂y}}{\frac {∂f}{\partial z}}=\frac{x}{3z^2+1}$$
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$$\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial x}=  0   $$
$$\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y}=  \frac{1}{3z^2+1}   $$
$$\frac {\partial^2 z}{\partial y \partial x}=  \frac{1}{3z^2+1}   $$
$$\frac {\partial^2 z}{\partial y \partial y}=  0   $$

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Kannst du bitte den Rechenweg für ∂x∂x zeigen ? Ich komme damit nicht klar , besonders wenn es kommt zu Ableitung nach x von z^2 , da komme ich in eine Zwickmühle 

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Ich hab da wieder geschludert - sorry - da z muss ja auch noch abgelitten werden.

Aber ich muss nun schlafen - ich schau morgen abend nochmal rein.

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Da habe ich noch das Vorzeichen unterschlagen:
$$ \frac {\partial z}{\partial x}=-\,\frac {\frac {∂f}{∂x}}{\frac {∂f}{\partial z}}=-\,\frac{y}{3z^2+1} $$
$$ \frac {\partial z}{\partial y}=-\,\frac {\frac {∂f}{∂y}}{\frac {∂f}{\partial z}}=-\,\frac{x}{3z^2+1} $$
Das sieht jetzt so nicht grad logisch aus, ergibt sich aber aus der Herleitung dieser Operationen, dass da noch ein Minus davor muss.

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yep, so habe ich es auch

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$$ \frac {\partial^2 z}{\partial y \partial x}=-\,\frac {\frac {∂}{∂y}\,\frac{-\,x}{3z^2+1}}{\frac {∂}{\partial z}\,\frac{-\,x}{3z^2+1}}= -\,\frac {\,\frac{-\,1}{3z^2+1}}{\,\frac{\,x \cdot 6z}{(3z^2+1)^2}}=\,\frac {\,{3z^2+1}}{\,{\,x \cdot 6z}}$$