Überführen Sie die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform.

Question

Aufgabe:

a) Überführen Sie die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 5 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & 0 & -1 & 5 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 5} \)

durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform. Bestimmen Sie dann den Zeilenraum sowie den Zeilenrang von \( A \).

b) Seien \( A \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \). Stellen Sie die folgenden elementaren Zeilenumformungen als Matrixmultiplikation \( L \cdot A \) mit \( L \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \) dar:

(i) Multiplikation der dritten Zeile von \( A \) mit \( \lambda \),

(ii) Addition des \( \lambda \)-fachen der ersten Zeile von \( A \) zur vierten Zeile von \( A \),

(iii) Vertauschung der zweiten und vierten Zeile von \( A \).

Comments

Dann lies dir mal das folgende durch: https://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix

Das wird so ähnlich natürlich auch in deinem Buch oder Skript stehen. Damit lässt sich dann b) erledigen.

Bei a) kannst du etwa die beiden ersten Zeilen zur dritten addieren und dann das Doppelte der zweiten zeile von der ersten subtrahieren. Achschließend vertauscht du noch die beiden ersten Zeilen und damit ist die erste Spalte bereits perfekt.

Answer 1

Ideen zu a)

[2, 5, -1, 2, -2]
[1, 0, 3, 0, 1]
[-3, 1, 0, -1, 5]

2*II - I ; 2*III + 3*I

[2, 5, -1, 2, -2]
[0, -5, 7, -2, 4]
[0, 17, -3, 4, 4]

5*III + 17*II

[2, 5, -1, 2, -2]
[0, -5, 7, -2, 4]
[0, 0, 104, -14, 88]

Unsortierte Ideen zu b)

L = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; k, 0, 0, 1]

L = [1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0]

L = [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, k, 0; 0, 0, 0, 1]

Comments

Ich hätte noch eine Verständnisfrage zur a)
Wenn ich sie in Zeilenstufenform gebracht habe, kann ich ja sagen, dass

der Zeilenrang 3 ist
der Zeilenraum IR^3 (beweis lin. unabh.)
der Spaltenraum 6 ist
oder?
Und wie genau würde ich die Basis davon bestimmen, wäre sie
E= R(2, 5, -1, 2, -2)+R(-5, 7,-2, 4)+R(104, -14, 88), da z.B. (2, 0, 110, -14, 90) eine Linearkombination davon wäre?

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Zeilenrang und raum wäre richtig. Ebenso die Basis.

Schreibe aber

E= r(2, 5, -1, 2, -2) + s(-5, 7,-2, 4) + t(104, -14, 88)

Also 3 verschiedene Buchstaben und keine gleichen. Beim Spaltenrang und Spaltenraum solltest du nochmals nachdenken.

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Ok, ich glaub jetzt hab ich es :)
Der Spaltenrang ist 5 bzw. IR ^5 und der Spaltenraum
a(2, 0, 0)+b(5, -5, 0)+c(-1, 7, 104)+d(2, -2 ,-14)+e(-2, 4, 88)
Stimmt das?

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Ist denn

a(2, 0, 0)+b(5, -5, 0)+c(-1, 7, 104)+d(2, -2 ,-14)+e(-2, 4, 88) 

im R^5? Warum nicht R^3?

Und wie viele unabhängige Vektoren brauchst du im R^3?

Denk dir mal eine Matrix aus. Dann multiplizier meine Matrix L mit deiner und schau dir die Lösung an und versuche zu verstehen, was die Matrix L macht. Dann kannst du sie selber sortieren.