Quotientenkriterium mit Fakultäten - wie kürzen?

Question

Aufgabe: Weisen Sie jeweils die Konvergenz der Reihe nach $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 6 }^{ 3n } }{ (n^{ 2 }+1)! }  } $$
Als erstes wollte ich hier das Quotentenkriterium anwenden. Das liefert mir zu Anfang das hier: $$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { { 6 }^{ 3({ n }+1) } }{ ({ (n+1) }^{ 2 }+1)! }  }{ \frac { { 6 }^{ 3n } }{ ({ n }^{ 2 }+1)! }  }  }  $$
Ich führe dann beide auf einen  Bruchstrich und erhalte: $$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { 6 }^{ 3 }({ n }^{ 2 }+1)! }{ ({ n }^{ 2 }+2n+2)! }  } $$
Wie bekomme ich es nun hin die Fakultät zu kürze???

Answer 1

Ich würde das jetzt nicht unbedingt noch weiter vereinfachen. Du siehst doch direkt, dass Nenner und Zähler gegen unendlich laufen,aber dass der Nenner sehr viel schneller gegen unendlich läuft .

Der Grenzwert ist somit 0.

Comments

Das hilft auf jeden Fall schon mal.

In meiner Lösung wird irgendein Schritt durchgeführt und die nächste Zeile lautet:

$$ \frac { { 6 }^{ 3 } }{ ({ n }^{ 2 }+2)\ast ...\ast ({ n }^{ 2 }+2n+2) } $$

Ich würde nur gerne verstehen wie das (n^2+1)! im Zähler weggekommen ist und wieso nun im Nenner diese Terme stehen.