Konvergenzradius : Sum(Sin(x)*x^n)

Question

ich möchte den Konvergenzradius von :
$$\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ sin(x)\quad *\quad { x }^{ n } } $$ bestimmen.

Kann ich jetzt das Wurzelkriterium verwenden?:

$$\lim _{ n->\infty  }{ \quad sup } \quad \sqrt [ n ]{ |sin(x)| } $$

Das ist ja grade =0 ,falls x so gewählt wird,dass sin(x) = 0 ist.

Oder =1 falls genau dieser Wert nicht gewählt wurde.

Also wäre der Konvergenzradius R= 1 ,aber die Reihe konvergiert für alle |x|<1 oder x∈sin(x)=0.

Kann ich das so aufschreiben. Also ist das Formal genug?

Answer 1

Bei deiner Reihe handelt es sich nicht um eine Reihe der Form
$$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $$
und sie lässt sich auch nicht durch Substitution auf eine Solche zurückführen, folglich gilt hier der Satz von Cauchy-Hadamard (der über Konvergenzradien) nicht. Man spricht meines Wissens nach sowieso nur bei Potenzreihen von einem Konvergenzradius. Für \( 0 < |x| < 1 \) erhältst du eine geometrische Reihe, welche natürlich konvergiert, und ansonsten erhältst du für die Nullstellen von Sinus ebenfalls eine trivialerweise konvergente Reihe.

Comments

Ja, ich hätte hier reinschreiben,sollen ,dass mir das auch aufgefallen ist.

Ursprünglich sollte ich auch nur die Potenzreihe sin(n)*x^n betrachten.

Answer 2

Das ist ja grade =0 ,falls x so gewählt wird,dass sin(x) = 0 ist.

Oder =1 falls genau dieser Wert nicht gewählt wurde.

Das "sup" bei dem lim heißt ja gerade immer den größten Fall anzunehmen,
also Konvergenzradius 1.

Comments

Was meinst du mit "das"?

Ja der Konvergenzradius wäre ja 1. Eine Potenzreihe konvergiert ja für |x|<R . Kann ich also nicht den Umkehrschluss machen,dass wenn |x|>R ist ,so konvergiert die Reihe nicht?
Da ja die Reihe z.b. für 2PI konvergiert. Und 2PI>R