Ist das Integral beschränkt oder nicht beschränkt?

Question

Folgendes Integral habe ich gegeben:

$$ \int _{ -\frac { \pi  }{ 4 }  }^{ \frac { \pi  }{ 12 }  }{ \frac { 3dx }{ (\cos { { (2x+\frac { \pi  }{ 6 }  }))^{ 2 } }  }  }   $$

Ich weiß dass das Integral nicht ∞ werden darf im gegebenen Intervall. Ich kann die Beschränktheit ja eigentlich mit dem Grenzwert ausrechnen. Ist der Grenzwert endlich, dann ist die Reihe konvergent, also beschränkt. Ansonsten divergent.

Wie gehe ich da vor, bzw. gegen welchen wert muss ich mein x laufen lassen? auch gegen ∞ obwohl kein Wert im Intervall existiert?

Stehe grade etwas auf dem Schlauch. Danke für eure Hilfe

Comments

Das ist die Lösung von meinem Professor. die verstehe ich aber nicht.

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es geht hier natürlich um teilaufgabe a)

Answer 1

deine Fragestellung ist ziemlich konfus...

Dich interessiert ob der Integrand im Intervall \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{12} ] \) beschränkt ist?

Naja, jede stetige Funktion ist auf einem kompakten Intervall beschränkt. Die interessante Frage ist also, ob deine Funktion

$$  g(x) = \frac{3}{(cos(2x+\frac{\pi}{6}))^2} $$

auf dem Intervall stetig und definiert ist. Da der Nenner auf dem Intervall nicht Null wird (wie in der Musterlösung anschaulich gezeigt wird) und Cosinus stetig ist, ist \(g(x)\) auf dem Intervall \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{12} ] \) stetig und damit beschränkt.

Gruß

Comments

okay das verstehe ich, aber wie kommt er auf :

$$ { 2x }_{ k }+\frac { \pi  }{ 6 } =\frac { \pi  }{ 2 } +{ k\pi  } $$

Ich weiß dass der Term links von der Funktion ist(das was in der Klammer steht) aber das zweite??

cos wird an der Stelle $$ \frac { \pi  }{ 2 } $$ 0 , an der Stelle kπ wird er jedoch -1.

Ich verstehe den Term auf der Rechten Seite nicht und warum setzt er beides = ????

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Also zuerst wird sich überlegt wo die Funktion \( \cos(x) \) seine Nullstellen hat. Die Funktion hat ja unendlich Nullstellen. Die erste wäre zum Beispiel bei \( \frac{\pi}{2} \). Von dort aus kommt alle \(\pi\) -Schritte nach links oder rechts eine Nullstelle vor somit:

Die Antwort lautet \( \cos(x_k) = 0\) wenn \( x_k = \frac{\pi}{2} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Also für \( k=0\) ist \(x_0 = \frac{\pi}{2} \)

Für \( k = 1 \) is \( x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \)

usw.

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ahhhhh ja klar. oh man. dankeschön. jetzt machts auch sinn.

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Kein Problem

Wenn du in der Prüfungsvorbereitung bist guck dir unbedingt noch mal an, wie man alle Nullstellen, eventuell auch die Extremwerte, von \(\cos\) und \(\sin\) bestimmten und darstellen kann.

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werde ich auf jeden fall machen. dankeschön :)

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ist es eigentlich egal welche Werte ich für k einsetze?? mein Professor setzt 0 und -1 ein, ich sehe darin aber keinen Grund, kann ich irgendwelche werte einsetzen?

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Es steht doch \( k \in \mathbb{Z} \), welche Zahlen kann man also für \(k\) einsetzen?

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ganze zahlen... also ist es vollkommen egal welche ganze zahl??

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Ja du hast doch unendlich Nullstellen. Irgendwie musst du die doch angeben. Das machst du mit dieser Form.

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also kann ich auch 2 und 3 angeben? das macht doch aber wenig sinn oder? ich muss ja obere schranke und untere schranke testen, also am besten -3 und 2 dann oder? also einmal eine negative zahl und eine positive zahl?

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Was für Schranken? Bitte präziser ausdrücken :)

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es gibt ja eine obere Schranke, hier π/12 und eine untere Schranke mit -(π/4). in der Lösung vergleicht er das Ergebnis einmal mit der oberen Schranke und einmal mit der unteren.  Nun stellt sich mir die Frage ob ich immer ein positives k  und ein negatives k einsetzen muss oder ob ich auch 2 positive einsetzen kann.

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wen ich doch 2 positive zahlen verwende, dann bekomme ich beides mal Ergebnisse, die > π/12 sind. nun habe ich aber noch keinen wert mit der unteren Schranke -(π/4) verglichen??

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Naja wie ich in meiner Anfangsantwort eigentlich schon geschrieben habe schaut dein Prof. ob das Intervall über dem integriert wird keine Nullstellen der Nennerfunktion enthält. Er vergleicht die Grenzen hierbei mit den Nullstellen für k = 0 und k = -1 (dazwischen ist keine weitere Nullstelle) und zeigt, das es keine Nullstellen in diesem Intervall gibt. Steht alles schon oben.