Beweisen Sie mit vollständiger Induktion Σ k³ = (Σ k)²

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k\right)^{2} \), wobei \( n>=1 \) ist

Wenn ich jetzt die Voraussetzung zur Behauptung führen will, scheitere ich an:

\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3} \)

\( \left(\frac{\left(n^{2}+n\right)^{2}+2\left(n^{3}+3 n^{2}+3 n+1\right)}{2}\right) \)

\( \left(\frac{\left.n^{4}+n^{2}+2 n^{3}+6 n^{2}+6 n+2\right)}{2}\right) \)

\( \left(\frac{\left.n^{4}+2 n^{3}+7 n^{2}+6 n+2\right)}{2}\right) \)

Die Linearfaktorzerlegung funktioniert hier allerdings nicht mehr mit dem TR.

Comments

Das ist jetzt die Linke Seite,nachdem du die Summe  für n+1 auseinadergezogen hast und die InduktionsVoraussetzung angewendet hast oder?

Ich glaube du hast beim quadrieren des ersten Summanden vernachlässigt,dass du auch den Nenner quadrieren musst.

Und was hast du für die rechte Seite raus für n+1, wenn das mit der Summenformel von Gauß darstellst?

Answer 1

Hi,

dein TR ist bei dieser Aufgabe überhaupt nicht nötig.

$$ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + (n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 $$

$$ = \frac{n^2(n+1)^2 + 4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4} = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$$

Gruß

Comments

Kannst du mir noch sagen, wie du von

\( =\frac{n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^{3}}{4} \)

auf

\( \frac{(n+1)^{2}\left(n^{2}+4 n+4\right)}{4} \)

gekommen bist?

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Wie man sehen kann wurde \((n+1)^2 \) ausgeklammert...

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Weil (4n + 4)(n+1)² = (4n+4)³?

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Sorry aber das grenzt schon an Vergewaltigung von Rechenregeln.